《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》4.3.2等比数列的前n项和 (原卷版)

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4.3.2 等比数列的前 n项和
题型 1 等比数列的前
n
项和公式的基本运算..........................................................................................................1
题型 2 等比数列中
Sn，S
2
n，S
3
n
的考察.......................................................................................................................4
题型 3 等比数列奇数项偶数项和的性质..................................................................................................................7
题型 4 前 n 项和与通项的关系................................................................................................................................10
题型 5 等比数列及其前
n
项和的综合应用............................................................................................................13
题型 6 等比数列的实际应用....................................................................................................................................15
知识点一．等比数列的前 n项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项
求和公式 Sn＝Sn＝
【注意】在应用公式求和时，应注意到
Sn＝
a1(1−qn)
1−q
的使用条件为 q≠1，而当 q＝1时应按常数列求和，
即Sn＝na1.
知识点二．等比数列前 n项和的性质
1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且 n不是偶数)，Sn为其前 n项和，则 Sn，S2n－
Sn，S3n－ S 2n
仍构成等比数列．
2．若{an}是公比为 q的等比数列，则 Sn＋m＝Sn＋q n
S m(n，m∈N*)．
3．若{an}是公比为 q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
①在其前 2n 项中，＝q；
②在其前 2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)．
题型 1 等比数列的前
n
项和公式的基本运算
【方法总结】等比数列前 n项和运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前 n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项 a1和公
比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会
用到整体代换，如 qn，都可看作一个整体．
(3)在解决与前 n项和有关的问题时，首先要对公比 q＝1或q≠1 进行判断，若两种情况都有可能，
则要分类讨论．
【例题 1】在等比数列{an}中，公比为 q，前 n项和为 Sn.
（1）a1＝8，an＝，Sn＝，求 n； （2）S3＝，S6＝，求 an及Sn.
【变式 1-1】1.设Sn为等比数列{an}的前 n项和，且 8a2＋a5＝0，则等于( )
A．11 B．5 C．－8 D．－11
【变式 1-1】2.在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求 Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求 S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比 q.
【变式 1-1】3.在等比数列{an}中．
(1)若a1＝，an＝16，Sn＝11，求 n和q；
(2)已知 S4＝1，S8＝17，求 an.
【变式 1-1】4.已知 a6－a4＝24，a3·a5＝64，求 S8.
【变式 1-1】5.设数列{an}是首项为 1，公比为－2的等比数列，则 a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.
【变式 1-2】1.在等比数列{an}中，若 a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则 a＋a＋…＋a＝( )
A．(2n－1)2 B.(4n－1) C.(2n－1) D．4n－1
【变式 1-2】2.等比数列{an}中，若前 n项的和为 Sn＝2n－1，则 a＋a＋…＋a＝ .
题型 2 等比数列中
Sn，S
2
n，S
3
n
的考察
【方法总结】
若数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且 n不是偶数)，Sn为其前 n项和，
则Sn，S2n－Sn，S3n－ S 2n
仍构成等比数列．
注意：如 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比数列的前提是 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n均不为 0.
【例题 2】等比数列{an}的前 n项和 Sn＝48，前 2n项和 S2n＝60，则前 3n项和 S3n＝________.
【变式 2-1】1．（2022·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前 5项和为 3，前 15 项和为
39，则该数列的前 10 项和为（ ）
A．
3❑
√
2
B．
3❑
√
13
C．12 D．15
【变式 2-1】2．（2022·宁夏·平罗中学）等比数列
\{ an\}
的前 n项和为
Sn
，已知
，
S2n=36
，则
S3n=¿
（ ）
A．
144
B．
117
C．
108
D．
81
【变式 2-1】3．（2023· 全国·高三专题练习）已知等比数列
{
an
)
的前 n项和为
Sn
，公比为
❑
√
3
，且
S4−2S2=6
，则
S6=¿
（ ）
A．36 B．39 C．40 D．44
【变式 2-1】4.在等比数列{an}中，若 S2＝7，S6＝91，则 S4＝________.
【变式 2-1】5.已知数列{an}是等比数列，Sn为其前 n项和，若 a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，则
S12=（ ）
A．40 B．60 C．32 D．50
【变式 2-1】6.已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn，S4＝1，S8＝3，则 a9＋a10＋a11＋a12 等于(　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
【变式 2-1】7.设正项等比数列 的前 项和为 ， ，则公比 等于（
）
A． B． C． D．
题型 3 等比数列奇数项偶数项和的性质
【方法总结】等比数列{an}中，若项数为 2n，则＝q；若项数为 2n＋1，则＝q.
【例题 3-1】若等比数列{an}的公比为，且 a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前 100 项和为________．
【变式 3-1】1.一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的 4倍，前 3项之积为
64，求数列的通项公式．
【变式 3-1】2．（2021·全国·高二专题练习）已知一个项数为偶数的等比数列
{
an
)
，所有项之和为所有偶
数项之和的
4
倍，前
3
项之积为
64
，则
a1=¿
（ ）
A．
1
B．
4
C．
12
D．
36
【变式 3-1】3．（2022·全国·高二）已知等比数列
{
an
)
共有 32 项，其公比
q=3
，且奇数项之和比偶数项
之和少 60，则数列
{
an
)
的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【变式 3-1】4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
{an}
的前
n
项和
Sn=2n− 1+1
，则数列
{an}
的前 10
项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A．
1
2
B．2 C．
172
341
D．
341
172
【例题 3-2】（2022·全国·高二）已知项数为奇数的等比数列
{an}
的首项为 1，奇数项之和为 21，偶数项
之和为 10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【变式 3-2】1．（2022·全国·高二）已知项数为奇数的等比数列
{an}
的首项为 1，奇数项之和为 21，偶
数项之和为 10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【变式 3-2】2．（2019·浙江·镇海中学高一期中）已知等差数列共有 99 项，其中奇数项之和为 300，则
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