《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》4.3.2等比数列的前n项和 (解析版)

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4.3.2 等比数列的前 n项和
题型 1 等比数列的前
n
项和公式的基本运算..........................................................................................................1
题型 2 等比数列中
Sn，S
2
n，S
3
n
的考察.......................................................................................................................4
题型 3 等比数列奇数项偶数项和的性质..................................................................................................................7
题型 4 前 n 项和与通项的关系................................................................................................................................10
题型 5 等比数列及其前
n
项和的综合应用............................................................................................................13
题型 6 等比数列的实际应用....................................................................................................................................15
知识点一．等比数列的前 n项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项
求和公式 Sn＝Sn＝
【注意】在应用公式求和时，应注意到
Sn＝
a1(1−qn)
1−q
的使用条件为 q≠1，而当 q＝1时应按常数列求和，
即Sn＝na1.
知识点二．等比数列前 n项和的性质
1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且 n不是偶数)，Sn为其前 n项和，则 Sn，S2n－
Sn，S3n－ S 2n
仍构成等比数列．
2．若{an}是公比为 q的等比数列，则 Sn＋m＝Sn＋q n
S m(n，m∈N*)．
3．若{an}是公比为 q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
①在其前 2n 项中，＝q；
②在其前 2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)．
题型 1 等比数列的前
n
项和公式的基本运算
【方法总结】等比数列前 n项和运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前 n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项 a1和公
比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会
用到整体代换，如 qn，都可看作一个整体．
(3)在解决与前 n项和有关的问题时，首先要对公比 q＝1或q≠1 进行判断，若两种情况都有可能，
则要分类讨论．
【例题 1】在等比数列{an}中，公比为 q，前 n项和为 Sn.
（1）a1＝8，an＝，Sn＝，求 n； （2）S3＝，S6＝，求 an及Sn.
【解析】（1）显然 q≠1，由 Sn＝，即＝，∴q＝.又an＝a1qn－1，即 8×n－1＝，∴n＝6.
（2）法一：由 S6≠2S3知q≠1，由题意得 ②÷①，得 1＋q3＝9，∴q3＝8，即 q＝2.代入①得 a1
＝，∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，Sn＝＝2n－1－.
法二：由 S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋a2＋a3)＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3.∴1＋q3＝
＝9，∴q3＝8，即 q＝2.代入①得 a1＝，∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，Sn＝＝2n－1－.
【变式 1-1】1.设Sn为等比数列{an}的前 n项和，且 8a2＋a5＝0，则等于( )
A．11 B．5 C．－8 D．－11
【答案】D
【解析】设{an}的公比为 q.因为 8a2＋a5＝0.所以 8a2＋a2·q3＝0.所以 a2(8＋q3)＝0.因为 a2≠0，所以
q3＝－8.所以 q＝－2.所以＝＝＝＝＝－11.故选 D.
【变式 1-1】2.在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求 Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求 S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比 q.
【解析】(1)由题意知解得或从而 Sn＝×5n＋1－或 Sn＝.
(2)方法一　由题意知解得从而 S5＝＝.
方法二　由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得 q3＝，从而 q＝.又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以 a1＝8，从而 S5＝
＝.
(3)因为 a2an－1＝a1an＝128，所以 a1，an是方程 x2－66x＋128＝0的两个根．从而或
又Sn＝＝126，所以 q＝2或.
【变式 1-1】3.在等比数列{an}中．
(1)若a1＝，an＝16，Sn＝11，求 n和q；
(2)已知 S4＝1，S8＝17，求 an.
【解析】(1)由Sn＝得，11＝，∴q＝－2，又由 an＝a1qn－1得，16＝(－2)n－1，
∴n＝5.
(2)若q＝1，则 S8＝2S4，不符合题意，∴q≠1，∴S4＝＝1，S8＝＝17，
两式相除得＝17＝1＋q4，∴q＝2或q＝－2，∴a1＝或 a1＝－，∴an＝·2n－1或－·(－2)n－1.
【变式 1-1】4.已知 a6－a4＝24，a3·a5＝64，求 S8.
【解析】由题意，得化简得①÷②，得 q2－1＝±3，负值舍去，∴q2＝4，∴q＝2或q＝－2.当q＝2时，
代入①得 a1＝1. ∴S8＝＝255.
当q＝－2时，代入①得 a1＝－1. ∴S8＝＝.综上知 S8＝255 或.
【变式 1-1】5.设数列{an}是首项为 1，公比为－2的等比数列，则 a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.
【答案】15
【解析】依题意得 a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，所以 a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝15
【变式 1-2】1.在等比数列{an}中，若 a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则 a＋a＋…＋a＝( )
A．(2n－1)2 B.(4n－1) C.(2n－1) D．4n－1
【答案】B
【解析】由 a1＋a2＋…＋an＝2n－1，得 a1＝1，a2＝2，所以{an}是以 1为首项，2为公比的等比数列，
所以{a}是以 1为首项，4为公比的等比数列，所以 a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
【变式 1-2】2.等比数列{an}中，若前 n项的和为 Sn＝2n－1，则 a＋a＋…＋a＝ .
【解析】a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝3－1＝2，∴公比 q＝2.又∵数列{a}也是等比数列，首项为 a＝1，公
比为 q2＝4，∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
题型 2 等比数列中
Sn，S
2
n，S
3
n
的考察
【方法总结】
若数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且 n不是偶数)，Sn为其前 n项和，
则Sn，S2n－Sn，S3n－ S 2n
仍构成等比数列．
注意：如 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比数列的前提是 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n均不为 0.
【例题 2】等比数列{an}的前 n项和 Sn＝48，前 2n项和 S2n＝60，则前 3n项和 S3n＝________.
【答案】63
【解析】法一：设公比为 q，由已知易知 q≠1，由 所以⇒S3n＝＝·[1－(qn)3]＝64×＝63.
法二：由 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，得(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－
60)⇒S3n＝63.
【变式 2-1】1．（2022·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前 5项和为 3，前 15 项和为
39，则该数列的前 10 项和为（ ）
A．
3❑
√
2
B．
3❑
√
13
C．12 D．15
【答案】C
【分析】利用等比数列的性质可得
(
S10 − S5
)
2=S5⋅
(
S15 − S10
)
，代入数据即可得到答案
【详解】解：由等比数列的性质可得
S5, S10 − S5, S15 − S10
也为等比数列，又
，故可得
(
S10 − S5
)
2=S5⋅
(
S15 − S10
)
即
(
S10 −3
)
2=3
(
39− S10
)
，解得
S10=12
或
S10=−9
，因为等比数列各项为正，所
以
S10=12
，故选：C
【变式 2-1】2．（2022·宁夏·平罗中学）等比数列
\{ an\}
的前 n项和为
Sn
，已知
Sn=9
，
S2n=36
，则
S3n=¿
（ ）
A．
144
B．
117
C．
108
D．
81
【答案】B
《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》4.3.2等比数列的前n项和 (解析版).docx

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