《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》4.3.1等比数列的概念与性质 (原卷版)

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4.3.1 等比数列的概念与性质
题型 1 等比数列定义..................................................................................................................................................2
题型 2 等比数列基本量的运算..................................................................................................................................6
题型 3 等比中项..........................................................................................................................................................8
◆类型 1 等比中项................................................................................................................................................8
◆类型 2 等比中项的应用..................................................................................................................................10
◆类型 3 等比中项的拓展应用........................................................................................................................12
题型 4 等比数列的性质及应用................................................................................................................................14
题型 5 对称法设元....................................................................................................................................................17
题型 6 等比数列的证明............................................................................................................................................20
题型 7 等比数列的单调性........................................................................................................................................23
知识点一．等比数列的定义
如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示(q≠0)．
【注意】
（1）“从第 2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；
（2）“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；
(3)“同一常数 q”，q是等比数列的公比，即 q＝(n≥2)或q＝.
特别注意，q不可以为零，
当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．
知识点二．等比中项
如果在 a与b中间插入一个数 G，使 a，G，b成等比数列，那么 G叫做 a与b的等比中项，这三个
数满足关系式 G＝±.
【注意】
（1）G是a与b的等比中项，则 a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．
G＝±，即等比中项有两个，且互为相反数．
（2）当 G2＝ab 时，G不一定是 a与b的等比中项．例如 02＝5×0，但 0，0，5不是等比数列．
知识点三．等比数列的通项公式
等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1.
知识点四．等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为 q，则
an＝a1q n
－
1
①＝amq n
－
m
②＝·q n
.③
其中当②中 m＝1时，即化为①.当③中 q>0 且q≠1 时，y＝·qx为指数型函数．
知识点五．等比数列的性质
（1）若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．
特别地，若{an}是等比数列，c是不等于 0的常数，则{c·an}也是等比数列．
（2）在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq.
（3）数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积．
（4）在等比数列{an}中，每隔 k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为 q k
＋1.
（5）当 m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．
题型 1 等比数列定义
【方法总结】判断一列数成等比基本步骤：
1各项不能为 0.
2从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数
【例题 1】（2022·江苏·高二课时练习）判断下列数列是否为等比数列：
(1)1，2，1，2，1；
(2)－2，－2，－2，－2；
(3)1，
−1
3
，
1
9
，
−1
27
，
1
81
；
(4)2，1，
1
2
，
1
4
，0；
(5)
，
lg6
，
lg12
；
(6)1，－1，1，－1．
【变式 1-1】1．（2021·河南·濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习（文））下列各组数成等比数列的
是（²²²²）
①
1
，
−2
，
4
，
−8
²²²²②
−❑
√
2
，
2
，
−2❑
√
2
，
4
²²²²③
x
，
x2
，
x3
，
x4
²²²²④
a−1
，
a−2
，
a−3
，
a−4
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【变式 1-1】2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 a，
a
(
1−a
)
，
a
(
1−a
)
2
，…是等比数列，则实数 a
的取值范围是（²²²²）．
A．
a ≠ 1
B．
a ≠ 0
或
a ≠ 1
C．
a ≠ 0
D．
a ≠ 0
且
a ≠ 1
【变式 1-1】3．（2022·全国·高三专题练习）下面四个数列中，一定是等比数列的是（²²²²）
A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4
C．q，2q，4q，8q D．
1
q
，
1
q2
，
1
q3
，
1
q4
【变式 1-1】4．（2021·全国·高二专题练习）有下列四个说法：①等比数列中的某一项可以为 0；②等
比数列中公比的取值范围是
(−∞,+∞)
；③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为 1；④若
b2=ac
，则
a
，
b
，
c
成等比数列.其中说法正确的个数为（²²²²）
A．0 B．1 C．2 D．3
²【变式 1-1】5．（2022·全国·高三专题练习（理））以下条件中，能判定数列是等比数列的有（²²²²）
①数列 1，2，6，18，…；²②数列
{
an
}
中，已知
a2
a1
=2
，
a3
a2
=2
；③常数列
a
，
a
，…，
a
，…；④数列
{
an
}
中，
an+1
an
=q(q ≠0)
，其中
n∈N¿
.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式 1-1】6．（2023·全国·高三专题练习）若数列
{
an
}
满足
a1=−1
，则“
∀m
，
n∈N¿
，
am+n=aman
”是“
{
an
}
为等比数列”的（²²²²）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式 1-1】7．（2022·全国·高二单元测试）（多选）已知数列
{
an
}
的首项
a1=a
(
a ≠ 0
)
，且
an+1=k an+t
，
其中
k , t ∈R
，
n∈N¿
，下列叙述不正确的是（²²²²）
A．若
{
an
}
是等差数列，则一定有
k=1
B．若
{
an
}
是等比数列，则一定有
t=0
C．若
{
an
}
是等差数列，则一定有
k ≠ 1
D．若
{
an
}
不是等比数列，则一定有
t ≠ 0
题型 2 等比数列基本量的运算
【方法总结】等比数列的通项公式涉及 4个量 a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外
一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
【例题 2】（2021·福建·）若数列
{
an
}
为等比数列，
a1=2
，
a2=6
，则公比
q=¿
（²²²²）
A．-4 B．
1
3
C．3 D．4
【变式 2-1】1．（2022·广东揭阳·高二期末）等比数列
{an}
中，
a1=1
，
a4=8
，则数列
{an}
的公比为___
_.
【变式 2-1】2.在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求 an；
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求 a1；
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