《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》4.3.1等比数列的概念与性质 (解析版)

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4.3.1 等比数列的概念与性质
题型 1 等比数列定义..................................................................................................................................................2
题型 2 等比数列基本量的运算..................................................................................................................................6
题型 3 等比中项..........................................................................................................................................................8
◆类型 1 等比中项................................................................................................................................................8
◆类型 2 等比中项的应用..................................................................................................................................10
◆类型 3 等比中项的拓展应用........................................................................................................................12
题型 4 等比数列的性质及应用................................................................................................................................14
题型 5 对称法设元....................................................................................................................................................17
题型 6 等比数列的证明............................................................................................................................................20
题型 7 等比数列的单调性........................................................................................................................................23
知识点一．等比数列的定义
如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示(q≠0)．
【注意】
（1）“从第 2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；
（2）“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；
(3)“同一常数 q”，q是等比数列的公比，即 q＝(n≥2)或q＝.
特别注意，q不可以为零，
当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．
知识点二．等比中项
如果在 a与b中间插入一个数 G，使 a，G，b成等比数列，那么 G叫做 a与b的等比中项，这三个
数满足关系式 G＝±.
【注意】
（1）G是a与b的等比中项，则 a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．
G＝±，即等比中项有两个，且互为相反数．
（2）当 G2＝ab 时，G不一定是 a与b的等比中项．例如 02＝5×0，但 0，0，5不是等比数列．
知识点三．等比数列的通项公式
等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1.
知识点四．等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为 q，则
an＝a1q n
－
1
①＝amq n
－
m
②＝·q n
.③
其中当②中 m＝1时，即化为①.当③中 q>0 且q≠1 时，y＝·qx为指数型函数．
知识点五．等比数列的性质
（1）若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．
特别地，若{an}是等比数列，c是不等于 0的常数，则{c·an}也是等比数列．
（2）在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq.
（3）数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积．
（4）在等比数列{an}中，每隔 k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为 q k
＋1.
（5）当 m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．
题型 1 等比数列定义
【方法总结】判断一列数成等比基本步骤：
1各项不能为 0.
2从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数
【例题 1】（2022·江苏·高二课时练习）判断下列数列是否为等比数列：
(1)1，2，1，2，1；
(2)－2，－2，－2，－2；
(3)1，
−1
3
，
1
9
，
−1
27
，
1
81
；
(4)2，1，
1
2
，
1
4
，0；
(5)
，
lg6
，
lg12
；
(6)1，－1，1，－1．
【答案】(1)不是(2)是(3)是(4)不是(5)不是(6)是
【分析】直接根据等比数列的定义逐一判断即可.
(1)明显有
1×1≠22
，故该数列不是等比数列；
(2)明显该数列是首项为-2，公比为 1的等比数列；
(3)明显该数列是首项为 1，公比为
−1
3
的等比数列；
(4)由于
1
2×0≠
(
1
4
)
2
，故该数列不是等比数列；
(5)因为
lg12⋅lg3
(
lg6
)
2<
(
lg12+lg3
2
)
2
(
lg 6
)
2=1
，即
lg12 ⋅lg 3≠
(
lg6
)
2
，故该数列不是等比数列；
(6)明显该数列是首项为 1，公比为-1 的等比数列；
【变式 1-1】1．（2021·河南·濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习（文））下列各组数成等比数列的
是（ÁÁÁÁ）
①
1
，
−2
，
4
，
−8
ÁÁÁÁ②
−❑
√
2
，
2
，
−2❑
√
2
，
4
ÁÁÁÁ③
x
，
x2
，
x3
，
x4
ÁÁÁÁ④
a−1
，
a−2
，
a−3
，
a−4
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据等比数列的定义进行判断.
【详解】①首项为 1，公比为
−2
，是等比数列；Á②首项为
−❑
√
2
，公比为
−❑
√
2
，是等比数列；③当
x=0
时，
不是等比数列；④首项为
a−1
，公比为
a−1
，是等比数列，所以①②④成等比数列.故选：C.
【变式 1-1】2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 a，
a
(
1−a
)
，
a
(
1−a
)
2
，…是等比数列，则实数 a
的取值范围是（ÁÁÁÁ）．
A．
a ≠ 1
B．
a ≠ 0
或
a ≠ 1
C．
a ≠ 0
D．
a ≠ 0
且
a ≠ 1
【答案】D
【分析】由等比数列的定义即可求出 a的取值范围.
【详解】由等比数列的定义知，数列中不能出现为 0的项，且公比不为 0，所以
a ≠ 0
且
1−a ≠ 0
,
所以
a ≠ 0
且
a ≠ 1
.故选：D.
【变式 1-1】3．（2022·全国·高三专题练习）下面四个数列中，一定是等比数列的是（ÁÁÁÁ）
A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4
C．q，2q，4q，8q D．
1
q
，
1
q2
，
1
q3
，
1
q4
【答案】D
【分析】根据等比数列的定义，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于 A、B、C：Á当 q＝0时不是等比数列，故 A、B、C错误；对于 D：由题意可得
q ≠ 0
，且符
合等比数列的定义，公比是
1
q
，故 D正确，故选：D
【变式 1-1】4．（2021·全国·高二专题练习）有下列四个说法：①等比数列中的某一项可以为 0；②等
比数列中公比的取值范围是
(− ∞,+∞)
；③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为 1；④若
b2=ac
，则
a
，
b
，
c
成等比数列.其中说法正确的个数为（ÁÁÁÁ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】根据等比数列的概念逐个分析可得答案.
【详解】对于①，因为等比数列中的各项都不为 0，所以①不正确；
对于②，因为等比数列的公比不为 0，所以②不正确；
对于③，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为 0，根据等比数列的定义知此数列的公比为 1，所以
③正确；对于④，只有当
a
，
b
，
c
都不为 0时，
a
，
b
，
c
才成等比数列，所以④不正确.
因此，正确的说法只有 1个，故选：B.
【点睛】关键点点睛：理解等比数列的概念是解题关键.
Á【变式 1-1】5．（2022·全国·高三专题练习（理））以下条件中，能判定数列是等比数列的有（ÁÁÁÁ）
①数列 1，2，6，18，…；Á②数列
{
an
)
中，已知
a2
a1
=2
，
a3
a2
=2
；③常数列
a
，
a
，…，
a
，…；④数列
{
an
)
中，
an+1
an
=q(q ≠0)
，其中
n∈N∗
.
A．1个B．2个C．3个D．4个
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