《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》4.2.2等差数列的前n项和公式 (原卷版)

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4.2.2 等差数列的前
n
项和公式
题型 1 等差数列前 n 项和基本量的计算..................................................................................................................2
题型 2 等差数列前 n 项和 Sn与等差中项的关系.....................................................................................................6
类型 1 S2n-1=(2n-1)an.....................................................................................................................................6
类型 
an
bn
=S2n−1
T2n−1
...........................................................................................................................................7
题型 3 等差数列前 n 项和 Sn的性质........................................................................................................................11
类型 等差数列的依次
k
项之和，
Sk
，
S
2
k
－
Sk
，
S
3
k
－
S
2
k
…成等差数列..................................................11
类型  数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列...................................14
类型 奇偶数项的和......................................................................................................................................17
题型 4 等差数列前 n 项和 Sn的最值........................................................................................................................19
类型 可以求解通项公式型..........................................................................................................................20
类型 相邻两项异号......................................................................................................................................22
类型 利用前 项和的函数特征（二次函数）..........................................................................................24
类型  和 问题...............................................................................................................................26
题型 5 等差数列含有绝对值的求和........................................................................................................................28
知识点一.前n项和
1．数列的前 n项和：
对于数列{an}，一般地称 a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前 n项和，用 Sn表示，即 Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．等差数列的前 n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用公式 Sn＝Sn＝na1＋d
3、等差数列前 n项和公式的推导
对于公差为 d的等差数列，Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，①
Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d]，②
由①＋②得 2Sn＝(a1＋an)＋(a1＋an)＋…＋(a1＋an)
n个＝n(a1＋an)，
由此得等差数列前 n项和公式 Sn＝，
代入通项公式 an＝a1＋(n－1)d得Sn＝na1＋d.
知识点二．等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前 n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋( n － m ) d (n，m∈N*)．
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋ a l＝ a m＋ a n．
(3)若{an}的公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为 2 d ．
(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
知识点三．等差数列与函数的关系
1.通项公式：当公差 d≠0 时，等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于 n的一次函数，
且一次项系数为公差 d.若公差 d＞0，则为递增数列，若公差 d＜0，则为递减数列．
2.前n项和：当公差 d≠0 时，Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于 n的二次函数且常数项为 0.
知识点四．两个常用结论
1.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
①若项数为 2n，则 S偶－S奇＝nd，＝；
②若项数为 2n－1，则 S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.
2.两个等差数列{an}，{bn}的前 n项和 Sn，Tn之间的关系为＝.
【注意】1．当公差 d≠0 时，等差数列的通项公式是 n的一次函数；当公差 d＝0时，an为常数．
2．注意利用“an－an－1＝d”时加上条件“n≥2”．
题型 1 等差数列前 n 项和基本量的计算
【方法总结】等差数列的基本运算：
(1)等差数列的通项公式及前 n项和公式共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两
个，体现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前 n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而 a1和d是等差数列的两个基本
量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．　
【例题 1】 (一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前 n项和．已知 S4＝0，a5＝5，则(
)
A．an＝2n－5　 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
【变式 1-1】12022·· !
{
an
}
"#
n
$%&
Sn
'(
S9=54
'
')
S16 =
**
A120 B60 C160 D80
【变式 1-1】22022·+,-./012 !
{
an
}
"#
n
$%&
Sn
'
a3=11
'
a5=19
')
S10 =
3333
A310 B210 C110 D39
【变式 1-1】32022·45,6·12
Sn
& !
\{ an\}
"#
n
$%'(
a8=6, S21 =0
')
a1
"7&333
A
18
B
20
C
22
D
24
【变式 1-1】42023·89·1:; !
{an}
"#
n
$%&
Sn
'<=>
an=1+(n−1)d
'
5a2=a8
')
Sn=¿
___________.
【变式 1-1】5.(2020·河南部分重点高中联考)记等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 3S5－5S3＝135，则
数列{an}的公差 d＝________．
【变式 1-2】1．(2020·六校联盟第二次联考)设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a4＋S5＝2，S7＝
14，则 a10＝(　　)
A．18　　　　　　　　　 B．16
C．14 D．12
【变式 1-2】2．已知数列{an}(n∈N＋)是等差数列，Sn是其前 n项和，若 a2a5＋a8＝0，S9＝27，则 S8
的值是________．
【变式 1-2】3. (2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前 n项和．若 a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的
公差为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【变式 1-2】4．(2020·高考全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前 n项和．若 a1＝－2，a2＋a6＝2，则
S10＝________．
【变式 1-2】5．(2020·合肥第一次教学检测)已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，a1＝1，S4＝4S2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋9＝180(m∈N*)，求 m的值．
【变式 1-2】6.(2021·新高考卷Ⅱ)记Sn是公差不为 0的等差数列{an}的前 n项和，若 a3＝S5，a2a4＝
S4.
(1)求数列{an}的通项公式 an；
(2)求使 Sn＞an成立的 n的最小值．
题型 2 等差数列前n项和Sn与等差中项的关系
【方法总结】在等差数列{an}中，Sn为其前 n项和，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an；
类型 1 S2n-1=(2n-1)an
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