《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》4.2.2等差数列的前n项和公式 (解析版)

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4.2.2 等差数列的前
n
项和公式
题型 1 等差数列前 n 项和基本量的计算..................................................................................................................2
题型 2 等差数列前 n 项和 Sn与等差中项的关系.....................................................................................................6
◆类型 1 S2n-1=(2n-1)an.....................................................................................................................................6
◆类型 2
an
bn
=S2n−1
T2n−1
...........................................................................................................................................7
题型 3 等差数列前 n 项和 Sn的性质........................................................................................................................11
◆类型 1 等差数列的依次
k
项之和，
Sk
，
S
2
k
－
Sk
，
S
3
k
－
S
2
k
…成等差数列..................................................11
◆类型 2 数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列...................................14
◆类型 3 奇偶数项的和......................................................................................................................................17
题型 4 等差数列前 n 项和 Sn的最值........................................................................................................................19
◆类型 1 可以求解通项公式型..........................................................................................................................20
◆类型 2 相邻两项异号......................................................................................................................................22
◆类型 3 利用前 n项和的函数特征（二次函数）..........................................................................................24
◆类型 4 Sn>0 和Sn<0 问题...............................................................................................................................26
题型 5 等差数列含有绝对值的求和........................................................................................................................28
知识点一.前n项和
1．数列的前 n项和：
对于数列{an}，一般地称 a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前 n项和，用 Sn表示，即 Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．等差数列的前 n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用公式 Sn＝Sn＝na1＋d
3、等差数列前 n项和公式的推导
对于公差为 d的等差数列，Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，①
Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d]，②
由①＋②得 2Sn＝(a1＋an)＋(a1＋an)＋…＋(a1＋an)
n个＝n(a1＋an)，
由此得等差数列前 n项和公式 Sn＝，
代入通项公式 an＝a1＋(n－1)d得Sn＝na1＋d.
知识点二．等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前 n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋( n － m ) d (n，m∈N*)．
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋ a l＝ a m＋ a n．
(3)若{an}的公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为 2 d ．
(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
知识点三．等差数列与函数的关系
1.通项公式：当公差 d≠0 时，等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于 n的一次函数，
且一次项系数为公差 d.若公差 d＞0，则为递增数列，若公差 d＜0，则为递减数列．
2.前n项和：当公差 d≠0 时，Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于 n的二次函数且常数项为 0.
知识点四．两个常用结论
1.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
①若项数为 2n，则 S偶－S奇＝nd，＝；
②若项数为 2n－1，则 S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.
2.两个等差数列{an}，{bn}的前 n项和 Sn，Tn之间的关系为＝.
【注意】1．当公差 d≠0 时，等差数列的通项公式是 n的一次函数；当公差 d＝0时，an为常数．
2．注意利用“an－an－1＝d”时加上条件“n≥2”．
题型 1 等差数列前 n 项和基本量的计算
【方法总结】等差数列的基本运算：
(1)等差数列的通项公式及前 n项和公式共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两
个，体现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前 n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而 a1和d是等差数列的两个基本
量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．　
【例题 1】 (一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前 n项和．已知 S4＝0，a5＝5，则(
)
A．an＝2n－5　 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
【解析】　(1)方法一：设等差数列{an}的公差为 d，因为所以解得所以 an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－
1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选 A.
方法二：设等差数列{an}的公差为 d，因为所以解得
选项 A，a1＝2×1－5＝－3；选项 B，a1＝3×1－10＝－7，排除 B；
选项 C，S1＝2－8＝－6，排除 C；选项 D，S1＝－2＝－，排除 D.故选 A.
【变式 1-1】1．（2022·甘肃·宁县第二中学高二阶段练习）已知等差数列
{
an
}
的前
n
项和为
Sn
，若
，
a11+a12 +a13 =27
，则
S16 =
（　　）
A．120 B．60 C．160 D．80
【答案】A
【分析】首先根据等差数列通项公式和前
n
项和公式将题干条件中的等式转化成基本量
a1
和
d
，然后联立方
程组解出
a1
和
d
，最后根据公式求解
S16
即可.
【详解】
∵
{
an
}
为等差数列，
∴S9=9 a1+9×8
2d=9 a1+36 d=54
，
a11+a12 +a13 =a1+10 d+a1+11d+a1+12 d=3 a1+33 d=27
，
¿
，解得
¿
.
S16 =16 a1+16×15
2d=16×30
7+120× 3
7=120
.故选：A.
【变式 1-1】2．（2022·湖南省桃源县第一中学高三阶段练习）设等差数列
{
an
}
的前
n
项和为
Sn
，已知
a3=11
，
a5=19
，则
S10 =
（]]]]）
A．310 B．210 C．110 D．39
【答案】B
【分析】根据等差数列的公差以及求和公式，可得答案.
【 详 解 】 由 等 差 数 列
{
an
}
， 则 公 差
d=a5-a3
5-3 =19-11
2=4
， 即
S10 =10
(
a1+a10
)
2
=5×
(
a3+a8
)
=5×
(
a3+a3+5 d
)
=5×
(
11×2+5×4
)
=5×42=210
.故选：B.
【变式 1-1】3．（2022·江苏南京·高三阶段练习）设
Sn
为等差数列
\{ an\}
的前
n
项和，若
a8=6, S21 =0
，则
a1
的值为（]]]）
A．
18
B．
20
C．
22
D．
24
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式代入求解即可.
【详解】解：由题意得：设等差数列的通项公式为
an=a1+(n-1) d
，则
Sn=n a1+n(n-1)
2d¿
解得：
¿
故选：
B
【变式 1-1】4．（2023·上海·高三专题练习）已知数列
{an}
的前
n
项和为
Sn
，且满足
an=1+(n−1)d
，
5a2=a8
，则
Sn=¿
___________.
【答案】
n2
【分析】根据通项公式列出方程求出
d
，利用前 n项和公式求解.
【详解】因为
an=1+(n−1)d
，
5a2=a8
所以
5(1+d)=1+7d⇒d=2
，所以
{an}
是以 2为公差的等差数列，
所以
Sn=n(1+2n−1)
2=n2
，故答案为：
n2
【变式 1-1】5.(2020·河南部分重点高中联考)记等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 3S5－5S3＝135，则
数列{an}的公差 d＝________．
【解析】因为 3S5－5S3＝135，所以 3－5＝135，所以 15d＝135，解得 d＝9.
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