《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》4.2.1等差数列的概念 (解析版)

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4.2.1 等差数列的概念
题型 1 判断是否为等差数列......................................................................................................................................3
◆类型 1 已知数列的项判断是否为等差数列...................................................................................................3
◆类型 2 已知等差数列{an}时...........................................................................................................................6
◆类型 3 已知通项公式或递推公式时................................................................................................................8
题型 2 求等差数列的项或通项................................................................................................................................11
◆类型 1 求等差数列的基本量..........................................................................................................................11
◆类型 2 求等差数列的通项公式......................................................................................................................15
题型 3 等差中项........................................................................................................................................................16
◆类型 1 等差中项的求解..................................................................................................................................17
◆类型 2 等差数列的运用..................................................................................................................................18
题型 4 证明数列为等差数列....................................................................................................................................19
题型 5 等差数列的性质............................................................................................................................................23
◆类型 1 an＝am＋(n－m)d的应用...............................................................................................................23
◆类型 2 等差数列性质的应用..........................................................................................................................25
题型 6 对称设元法巧解等差数列............................................................................................................................27
题型 7 等差数列的单调性........................................................................................................................................30
◆类型 1 等差数列单调性的判断......................................................................................................................31
◆类型 2 等差数列与取值范围相关问题..........................................................................................................32
◆类型 3 等差数列与最值相关的问题..............................................................................................................34
题型 8 等差数列的实际应用....................................................................................................................................37
知识点一.等差数列的定义
（1）文字语言：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d表示．
（2）符号语言：若 an－an－1＝d(n≥2)，则数列{an}为等差数列
【注意】（1）“从第 2项起”是指第 1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
（2）“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：
①作差的顺序；②这两项必须相邻．
（3）定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称
为等差数列．
知识点二.等差数列的通项公式
已知等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d.
递推公式 通项公式
an－an－1＝d(n≥2) an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)
知识点三.等差数列通项公式的推导
如果等差数列{an}的首项是 a1，公差是 d，根据等差数列的定义得到 a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－
a3＝d，…
所以 a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋d＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋2d＋d＝a1＋3d，……
由此归纳出等差数列的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d．
知识点四.等差中项
如果三个数 a，A，b成等差数列，那么 A
叫做 a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是 A＝.
知识点五.等差数列的证明
（1）定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列；
（2）等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．
知识点六.从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为 a1，公差为 d，则 an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线 y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为 d，在 y轴上的截距为 a1－ d ；
(2)这些点的横坐标每增加 1，函数值增加 d.
知识点七.等差数列通项公式的变形及推广
设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n － m) d(m，n∈N*)，
③d＝(m，n∈N*，且 m≠n)．
【注意】①的几何意义是点(n，an)均在直线 y＝dx＋(a1－d)上．
②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求 a1.
③可用来由等差数列任两项求公差．
知识点八.等差数列的性质
1．若{an}，{bn}分别是公差为 d，d′的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an}公差为 d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}公差为 cd 的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}公差为 kd
的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn}公差为 pd ＋ qd ′ 的等差数列(p，q为常数)
2.下标性质：在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋ a q.
特别地，若 m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有 am＋an＝2 a p.
3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．
4．等差数列{an}的公差为 d，则 d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数
列．
题型 1 判断是否为等差数列
【方法总结】判断是否为等差数列的方法：
根据定义：从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列
◆类型 1 已知数列的项判断是否为等差数列
【例题 1-1】（2022·全国·高二课时练习）下列数列中，不成等差数列的是（ ）．
A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001
C．a，a，a，a D．
lg2
，
lg20
，
lg200
，
lg2000
【答案】B
【分析】根据等差数列的定义逐个分析判断即可.
【详解】对于 A，因为第 2项起，后一项与前一项的差是同一个常数 3，所以此数列是等差数列，所以 A
不合题意，
对于 B，因为
，
1.001−1.01=−0.009
，即
1.01 −1.1≠1.001 −1.01
，所以此数列不是
等差数，所以 B符合题意，
对于 C，因为第 2项起，后一项与前一项的差是同一个常数 0，所以此数列是等差数列，所以 C不合题意，
对于 D，数列
lg2
，
lg20
，
lg200
，
lg2000
可表示为
lg2
，
1+lg2
，
2+lg2
，
3+lg 2
，因为第 2项起，后一
项与前一项的差是同一个常数 1，所以此数列是等差数列，所以 D不合题意，故选：B
【变式 1-1】1.已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（ ）
① 4，5，6，7，8，… ② 3，0，-3，0，-6，…
③ 0，0，0，0，… ④ …
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】第一个数列是公差为 1的等差数列.第二个数列是摆动数列，不是等差数列.第三个是公差为 的
等差数列.第四个是公差为
1
10
的等差数列.故有 3个等差数列，所以选 C.
【变式 1-1】2．（2022·陕西安康·高一期末）下列数列不是等差数列的是（ ）
A．0，0，0，…，0，…
B．－2，－1，0，…，n－3，…
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