《【高分突破系列】2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教A版2019选择性必修第二册）》4.1数列的概念 (解析版)

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4.1 数列的概念
题型 1 数列的概念与辨析..........................................................................................................................................2
题型 2 根据数列通项公式求项..................................................................................................................................4
题型 3 由数列的前几项写出数列的一个通项公式.................................................................................................5
题型 4 根据规律填写数列中的某项..........................................................................................................................8
题型 5 由递推公式求数列的指定项........................................................................................................................13
题型 6 利用
Sn
与
an
的关系求通项公式...................................................................................................................15
题型 7 递增数列与递减数列....................................................................................................................................18
题型 8 确定数列中的最大（小）项........................................................................................................................20
◆类型 1 利用函数的性质..................................................................................................................................20
◆类型 2 利用数列的单调性..............................................................................................................................21
题型 9 由单调性求参数取值范围............................................................................................................................23
知识点一.数列及其有关概念
1．数列：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 项．
数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第 1
项，常用符号 a1表示，第二个位置上的数叫做这个
数列的第 2
项，用 a2表示……，第 n
个位置上的数叫做这个数列的第 n
项，用 an表示．其中第 1
项也叫做首项．
2. 记法：数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
知识点二.数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
知识点三.函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集 N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集 R的函数，其自变量是序号 n，对应
的函数值是数列的第 n项an，记为 an＝f(n)．
知识点四.数列的单调性
递增数列 从第 2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第 2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
知识点五.通项公式
1．如果数列{an}的第 n项an与它的序号
n
之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这
个数列的通项公式．
2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量
为离散的数的函数．
知识点六.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公
式．
知识点七.数列的前 n项和 Sn与an的关系
1．把数列{an}从第 1项起到第 n项止的各项之和，称为数列{an}的前 n项和，记作 Sn，即 Sn＝a1＋ a 2
＋…＋ a n.
2．an＝
题型 1 数列的概念与辨析
【方法总结】
(1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．
(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．
【例题 1】下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数
列？
(1)1,0.84,0.842,0.843，…；
(2)2,4,6,8,10，…；
(3)7,7,7,7，…；
(4)，，，，…；
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；
(6)0，－1,2，－3,4，－5，….
【解析】(5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常
数列．
【变式 1-1】1.下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021；
(2)0，，，…，，…；
(3)1，，，…，，…；
(4)－，，－，，…；
(5)1,0，－1，…，sin ，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
【解析】(1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列．
【变式 1-1】2．（2022·全国·高二课时练习）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．同一数列的任意两项均不可能相同
B．数列
−1
，
0
，
1
与数列
1
，
，
−1
是同一个数列
C．数列 1，3，5，7可表示为
{
1,3,5,7
}
D．数列 2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列
【答案】D
【分析】根据数列的概念，逐项判断即可.
【详解】例如无穷个 3构成的常数列 3，3，3，…的各项都是 3，故 A错误；数列
−1
，0，1与数列
0，1，
−1
中项的顺序不同，即表示不同的数列，故 B错误；
{
1,3,5,7
}
是一个集合，故 C错误；根据数列
的分类，数列 2，5，2，5，…，2，5，…中的项有无穷多个，所以是无穷数列，D正确.故选：D.
【变式 1-1】3．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．数列可以用图象来表示
B．数列的通项公式不唯一
C．数列中的项不能相等
D．数列可以用一群孤立的点表示
【答案】　ABD
【解析】　数列中的项可以相等，如常数列，故选项 C中说法不正确．
题型 2 根据数列通项公式求项
【方法总结】
(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第 n项an与它的位置序号 n之间的关系，只要用序号代替公式中的 n，就可
以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第 n项，然后列出关于 n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方
程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
【例题 2】已知数列{an}的通项公式是 an＝2n2－n，n∈N*.
(1)写出数列的前 3项；
(2)判断 45 是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项．
【解析】(1)在通项公式中依次取 n＝1,2,3，可得{an}的前 3项分别为 1,6,15.
(2)令2n2－n＝45，得 2n2－n－45＝0，解得 n＝5或n＝－(舍去)，故 45 是数列{an}中的第 5项．
令2n2－n＝3，得 2n2－n－3＝0，解得 n＝－1或n＝，故 3不是数列{an}中的项．
【变式 2-1】1.已知数列{an}的通项公式为 an＝qn，n∈N*，且 a4－a2＝72.
(1)求实数 q的值；
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