《【单元测试】2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）》第三章 函数的概念与性质（知识通关详解）（原卷版）

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第三章 函数的概念与性质专题详解
一、函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 A中的任意一个数 ，在集合 B中
都 有 唯 一 确 定的 数 和 它 对 应 ，那 么 就 称 ： A→B 为 从 集 合 A到 集 合 B的 一 个 函 数 .记 作 ：
.其中： 叫做自变量， 的取值范围 A叫做函数的定义域；与 的值相对应的 值叫做
函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所
以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）.
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同 (两点必须同时具备)
考点一：定义域的求法
一．已知函数解析式型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此
不等式（或组）即得原函数的定义域
求函数的定义域需要从这几个方面入手：
（1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负.
（3）对数中的真数部分大于 0.
（4）指数、对数的底数大于 0，且不等于 1
（5）y=tanx 中x≠kπ+π/2；y=cotx 中x≠kπ 等等.
( 6 )
x0
中x
¿0
例1：求下列函数的定义域
（1） ；（2） ；（3）( ).
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域
求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况.
（一）已知
f(x)
的定义域，求
f
[
g(x)
]
的定义域.
其解法是：已知
f(x)
的定义域是
[a ,b ]
求
f
[
g(x)
]
的定义域是解
a≤g(x)≤b
，即为所求的定义域.
例2：已知
的定义域为
[−2,2 ]
，求
f(x2−1)
的定义域.
举一反三
已知函数 f(x)的定义域是[-1，4]，求函数 f(2x+1)的定义域.
（二）已知
f
[
g(x)
]
的定义域，求
f(x)
的定义域.
其解法是：已知
f
[
g(x)
]
的定义域是
[a ,b ]
求
f(x)
的定义域的方法是：
a≤x≤b
，求
g(x)
的值域，
即所求
f(x)
的定义域.
例3：已知
f(2x+1)
的定义域为
[1,2 ]
，求
f(x)
的定义域.
举一反三
已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域．
（三）复合函数定义域综合求解
例4：已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A．B．C．D．
举一反三
1．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_________.
三、逆向思维型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围.特别是对于已知定义域为
R
,求参数的范围问题
通常是转化为恒成立问题来解决.
例5：已知函数
y=
√
mx2−6mx+m+8
的定义域为
R
求实数
m
的取值范围.
举一反三
已知函数
f(x)= kx +7
kx2+4kx +3
的定义域是
R
，求实数
k
的取值范围.
考点二：求函数值域
例1　已知函数 在 上满足：对任意 ，都有 ，则实数 的
取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、值域是函数 y=f(x)中y的取值范围.
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合）
（3）函数单调性法 （4）配方法
（5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）
（7）分离常数法 （8）判别式法
（9）复合函数法 （10）不等式法
（11）平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终.
1.利用常见函数的值域来求（直接法）
一次函数 y=ax+b(a
¿
0)的定义域为 R，值域为 R；
反比例函数
y=k
x(k≠0)
的定义域为{x|x
¿
0}，值域为{y|y
¿
0}；
二次函数
f(x)=ax 2+bx +c(a≠0)
的定义域为 R，
当a>0 时，值域为{
y|y≥(4ac−b2)
4a
}；当 a<0 时，值域为{
y|y≤(4ac−b2)
4a
}.
例2 求下列函数的值域
① y=3x+2(-1
¿
x
¿
1) ②
f(x)=− 2
3x（1≤x≤3）
③
y=x+1
x
（记住图像）
2.二次函数在区间上的值域(最值)：
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