《【单元测试】2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）》第三章 函数的概念与性质（知识通关详解）（解析版）

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第三章 函数的概念与性质专题详解
一、函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 A中的任意一个数 ，在集合 B中
都 有 唯 一 确 定的 数 和 它 对 应 ，那 么 就 称 ： A→B 为 从 集 合 A到 集 合 B的 一 个 函 数 .记 作 ：
.其中： 叫做自变量， 的取值范围 A叫做函数的定义域；与 的值相对应的 值叫做
函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所
以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）.
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同 (两点必须同时具备)
考点一：定义域的求法
一．已知函数解析式型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此
不等式（或组）即得原函数的定义域
求函数的定义域需要从这几个方面入手：
（1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负.
（3）对数中的真数部分大于 0.
（4）指数、对数的底数大于 0，且不等于 1
（5）y=tanx 中x≠kπ+π/2；y=cotx 中x≠kπ 等等.
( 6 )
x0
中x
¿0
例1：求下列函数的定义域
（1） ；（2） ；（3）( ).
解析：（1） 解得： 或
所以函数 的定义域为 ；故答案为： .
（2） 解得： 或
所以函数 的定义域为 ；故答案为： .
（3）( ). 解得：
所以函数 ( )的定义域为 ；故答案为： .
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域
求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况.
（一）已知
f(x)
的定义域，求
f
[
g(x)
]
的定义域.
其解法是：已知
f(x)
的定义域是
[a ,b ]
求
f
[
g(x)
]
的定义域是解
a≤g(x)≤b
，即为所求的定义域.
例2：已知
的定义域为
[−2,2 ]
，求
f(x2−1)
的定义域.
解：
∵−2≤x≤2
，
∴−2≤x2−1≤2
，解得
−
√
3≤x≤
√
3
即函数
f(x2−1)
的定义域为
{
x|−
√
3≤x≤
√
3}
举一反三
已知函数 f(x)的定义域是[-1，4]，求函数 f(2x+1)的定义域.
【答案】 .
【详解】
已知 f(x)的定义域是[-1，4]，即-1≤x≤4.故对于 f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4，
∴-2≤2x≤3，∴-1≤x≤ .∴函数 f(2x+1)的定义域是 .
（二）已知
f
[
g(x)
]
的定义域，求
f(x)
的定义域.
其解法是：已知
f
[
g(x)
]
的定义域是
[a ,b ]
求
f(x)
的定义域的方法是：
a≤x≤b
，求
g(x)
的值域，
即所求
f(x)
的定义域.
例3：已知
f(2x+1)
的定义域为
[1,2 ]
，求
f(x)
的定义域.
解：
∵1≤x≤2
，
∴2≤2x≤4
，
∴3≤2x+1≤5
.
即函数
f(x)
的定义域是
{
x|3≤x≤5
}
.
举一反三
已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域．
【答案】
【详解】因为 的定义域为 ，
所以 ，所以 ．令 ，则 ．
即 中， ．故 的定义域为 ．
（三）复合函数定义域综合求解
例4：已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为函数 的定义域为 ，所以 ，则 ，
所以 ，解得 ，所以 的定义域为 ，故选：B
举一反三
1．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_________.
【答案】
【详解】函数 的定义域为 ，即 ，所以 ，
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