《【单元测试】2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第一册）》第二章 一元二次函数、方程和不等式（知识通关详解）（原卷版）

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第二章 一元二次函数、方程和不等式专题详解
精讲温故知新
（一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：
(1)对称性：
a>b⇔b<a
　　　　　　　(2)传递性：
a>b ,b >c⇒a>c
(3)加法法则：
a>b⇒a+c>b+c
；
a>b , c>d⇒a+c>b+d
(同向可加)
(4)乘法法则：
a>b , c>0⇒ac >bc
；　　　　
a>b , c<0⇒ac <bc
a>b>0, c >d>0⇒ac >bd
(同向同正可乘)
(5) 倒数法则：
　
(6)乘方法则：
a>b>0⇒an>bn(n∈N∗n且>1)
(7)开方法则：
a>b>0⇒n
√
a>n
√
b(n∈N∗n且>1)
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）
3、应用不等式性质证明不等式
例1：1．（2019·浙江·高考真题）若 ，则“ ”是 “ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2014·四川·高考真题（文））若 则一定有
A．B．C．D．
3．（2022·上海崇明·二模）如果 ，那么下列不等式中正确的是（）
A．B．
C．D．
4．（2022·上海交大附中模拟预测）已知 ， ，则下列不等式中恒成立的是（）
A．B． C． D．
举一反三
1．（2022·江苏南京·模拟预测）设 、 均为非零实数且 ，则下列结论中正确的是（）
A．B．C．D．
2．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知 且满足 ，则 的取值范
围是（）
A．B．C．D．
3．（多选）（2022·广东佛山·模拟预测）下列命题为真命题的是（）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则
4．（2013·全国·高考真题（文））设 满足约束条件 ，则 的最大值为______．
（二）解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式
ax2+bx +c>0或ax2+bx +c<0
(
a≠0
)
的解集：
设相应的一元二次方程
ax2+bx +c=0
(
a≠0
)
的两根为
x1、x2且x1≤x2
，
Δ=b2−4ac
，则不等式的
解的各种情况如下表：
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
（
a>0
）的图象
y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
一元二次方程
ax2+bx +c=0
(
a>0
)
的根
有两相异实根
x1, x2(x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=− b
2a
无实根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
{
x|x<x1x或>x2
}
{
x|x≠− b
2a
}
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{
x|x1<x<x2
}
∅
∅
例2：1．（2015·天津·高考真题（理））设 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2019·天津·高考真题（文）） 设 ，使不等式 成立的 的取值范围为__________.
举一反三
1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））不等式 成立是不等式 成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2015·广东·高考真题（文））不等式 的解集为_________．（用区间表示）
．
2、简单的一元高次不等式的解法：
标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将
每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；
（3）根据曲线显现 的符号变化规律，写出不等式的解集。
例3：1．（2022·天津·一模）已知 ，“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
举一反三
1．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式 成立的一个充分不必要条件
( )f x
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