《【冲刺满分】2023年中考数学复习手册之拉分专题重难点突破（全国通用版）》专题17 解密几何综合压轴题（原卷版）

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专题 17 解密几何综合压轴题
1．【问题情境】：
数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图 1，已知矩形纸片
，其中宽 ．
(1)【动手实践】：
如图 1，威威同学将矩形纸片 折叠，点 落在 边上的点 处，折痕为 ，连接
，然后将纸片展平，得到四边形 ，则折痕 的长度为______．
(2)【探究发现】：
如图 2，胜胜同学将图 1中的四边形 剪下，取 边中点 ，将 沿 折叠得
到 ，延长 交 于点 ．点 为 边的中点，点 是边 上一动点，将
沿 折叠，当点 的对应点 落在线段 上时，求此时 的值；
(3)【反思提升】：
明明同学改变图 2中 点的位置，即点 为 边上一动点，点 仍是边 上一动点，按
照（2）中方式折叠 ，使点 落在线段 上，明明同学不断改变点 的位置，发
现在某一位置 与（2）中的 相等，请直接写出此时 的长度．
2．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
　　 　　
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平；
操作二：在 AD 上选一点 P，沿 BP 折叠，使点 A落在矩形内部点 M处，把纸片展平，连接
PM，BM．
根据以上操作，当点 M在EF 上时，写出图 1中一个 30°的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片 ABCD 按照（1）中的方式操作，并延长 PM 交CD 于点 Q，连接 BQ．
①如图 2，当点 M在EF 上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点 P在AD 上的位置（点 P不与点 A，D重合），如图 3，判断∠MBQ 与∠CBQ 的
数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）探究中，已知正方形纸片 ABCD 的边长为 8cm，当 FQ＝1cm 时，直接写出 AP 的长．
3．将正方形 的边 绕点 逆时针旋转至 ，记旋转角为 ．连接 ，过点
作 垂直于直线 ，垂足为点 ，连接 ，
如图 1，当 时， 的形状为 ，连接 ，可求出 的值为
；
当 且 时，
① 中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图 2的情形进行证明；如果不成立，
请说明理由；
②当以点 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 的值．
4．如图（1），已知点 G在正方形 的对角线 上， ，垂足为点 E，
，垂足为点 F．
(1)证明与推断：
①求证：四边形 是正方形：
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