《【冲刺满分】2023年中考数学复习手册之拉分专题重难点突破（全国通用版）》专题17 解密几何综合压轴题（解析版）

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专题 17 解密几何综合压轴题
1．【问题情境】：
数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图 1，已知矩形纸片
，其中宽 ．
(1)【动手实践】：
如图 1，威威同学将矩形纸片 折叠，点 落在 边上的点 处，折痕为 ，连接
，然后将纸片展平，得到四边形 ，则折痕 的长度为______．
(2)【探究发现】：
如图 2，胜胜同学将图 1中的四边形 剪下，取 边中点 ，将 沿 折叠得
到 ，延长 交 于点 ．点 为 边的中点，点 是边 上一动点，将
沿 折叠，当点 的对应点 落在线段 上时，求此时 的值；
(3)【反思提升】：
明明同学改变图 2中 点的位置，即点 为 边上一动点，点 仍是边 上一动点，按
照（2）中方式折叠 ，使点 落在线段 上，明明同学不断改变点 的位置，发
现在某一位置 与（2）中的 相等，请直接写出此时 的长度．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）通过折叠的性质可证明△BMN 是等腰直角三角，利用勾股定理即可求出
BN；
（2）先证明 ．再证明 ，接着证明 ，即
有∴ ，进而求出 NF，MF，则在 Rt△BFM 中，有 ，即
得解；
（3）过 作 交 BM 于点 S，过 P点作 交 KS 于点 K点，根据（2）的
结果得到 tan∠QPM=，即可得 ，先证明四边形 KPMS 是矩形，再证
，即有 ，设 SQ=m，=n，则有 ，
，利用勾股定理可表示出 ，∴ ，根据
KP=SM=SQ+QM，有 ，可得 ，即 =，∴
，在结合 tan∠FBM=可得 ，进而有
，解得： ，则 BQ 得解．
(1)
根据矩形的性质有∠A=∠ABM=90°，
根据折叠的性质有∠A=∠BMN，AB=BM，AN=MN，
∴∠A=∠ABM=90°=∠BMN，即四边形 ABMN 是矩形，
∴AB=MN，BM=AN，
∵AB=BM，AN=MN，
∴矩形 ABMN 是正方形，
∴MN=BM=AB，
∵AB=8，
∴MN=BM=8，
∴△BMN 是等腰直角三角形，
∴BN=MN=，
故答案为： ；
(2)
连接 EF，如图，
在（1）中已得矩形 ABMN 是正方形，
∴AN=MN=BM=AB=8， ，
∵E为AN 中点，Q为BM 中点，
∴AE=EN=4=BQ=QM，
∴根据翻折的性质有 ， ， ， ，
，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴结合 有 ，
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