《【冲刺满分】2023年中考数学复习手册之拉分专题重难点突破（全国通用版）》专题14 与圆有关的证明和计算（解析版）

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专题 14 与圆有关的证明和计算
圆与直角母子型（1）
圆与直角母子型（2）
ABE∽
ADC
PAC∽
PBA
PAB∽
PCD
ABE∽
DCE
O
O
O
C
D
C
D
C
C
D
C
P
D
C
（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）
③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线
（2）切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
1．如图，在 中， ，以 为直径作圆 ，分别交 于点 ，交 的延长
线于点 ，过点 作 于点 ，连接 交线段 于点 ．
(1)求证：EH=CH；
(2)求证： 是圆 的切线；
(3)若 ，求圆 的半径．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3) ．
【分析】（1）先判断出 是等腰三角形，即可得出结论；
（2）连接 OD，先判断出 是等腰三角形，进而得出 ，进而判断出
，即可得出结论
（3）设 的半径为 r，即 ，先判断出 ，进而得出
，得出 ， ，进而得出
，再判断出 ，得出比例式建立方程求解，即可求出答案．
（1）
证明： ，
，
在⊙ 中， ，
∴ ，
是等腰三角形，
∵ ，
∴
（2）
证明：连接 ，如图 1，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
∴ ，
，
，
∵ 是 的半径，
是圆 的切线；
（3）
连接 ，如图 1，，
设⊙ 的半径为 ，即 ，
，
，
∵ ，
，
则 ，
，
，
∵ 是等腰三角形，
∴ ，
，
∴ 是等腰三角形，
∵ 是⊙ 的直径，
∴ ，
∴ ，
，
在⊙ 中， ，
，
在 中， ，
，
， ，
，
，
，
解得： ， 舍 ，
综上所述，⊙ 的半径为 ．
【我思故我在】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定和
性质，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解（3）的关键．
2．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
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