《【冲刺满分】2023年中考数学复习手册之拉分专题重难点突破（全国通用版）》专题13 二次函数区间及最值问题（解析版）

3.0 cande 2025-05-02 5 4 1.63MB 21 页 3知币
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专题 13 二次函数区间及最值问题
1．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（–3，5），B（0，5）．抛物线 y=-x2+bx+c交x
轴于 C（1，0），D（-3，0）两点，交 y轴于点 E．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当-4≤x≤0 时，求 y的最大值与最小值的积；
(3)连接 AB，若二次函数 y=-x2+bx+c的图象向上平移 m(m>0)个单位时，与线段 AB 有一个公
共点，结合函数图象，直接写出 m的取值范围．
【答案】(1) ， (2) (3) ，或
【分析】（1）通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解．
（2）根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合 的取值范围求解．
（3）结合图象，分别求出抛物线顶点在 上，经过点 ， 时 的值，进而求解．
（1）解：将 ， 代入
对于整个函数图像来说，最值在顶点处取到，而对于函数图像的
一部分来说，则未必。
常见的两种类型分别为：
一是给定区间，对称轴不确定；二是给定对称轴，区间不确定。
一般步骤是根据已知，画出函数图像，再根据给定的区间或对称
轴进行分类讨论，根据题意建立方程求解。难点是有时分类讨论
次数较多，计算比较繁琐，容易出错。
得 ，
解得 ，
，
抛物线顶点坐标为 ．
（2）解： 抛物线开口向下，顶点坐标为 ，
函数最大值为 ，对称轴为直线 ，
，
时， 为函数最小值，
的最大值与最小值的积为 ．
（3）解：二次函数 的图象向上平移 个单位后解析式为
，
抛物线顶点坐标为 ，
当顶点落在线段 上时， ，
解得 ，
当抛物线向上移动，经过点 时， ，
解得 ，
当抛物线经过点 时， ，
解得 ，
当 ，或 时，函数图象与线段 有一个公共点．
【我思故我在】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数与方程的关
系，掌握二次函数图象的平移规律．
2．已知抛物线 的对称轴为直线 ，图象与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若把抛物线的图象沿 轴平移 个单位，在自变量 的值满足 的情况下，与
其对应的函数值 的最小值为-2，求 的值．
【答案】（1） ；（2） 或
【分析】（1）利用对称轴 x=- =1，图像与 x轴交于点（-1，0）求出函数解析式；
（2）根据函数的性质，图像向左或向右平移，在自变量 x的值满足 2≤x≤3 的情况下，对应
的函数 y的最小值求出 n的值．
【详解】解：（1）由题意得 解之得 ，
∴二次函数的解析式为 ；
（2） 配方为 ，
当 时， ，
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