《【冲刺满分】2023年中考数学复习手册之拉分专题重难点突破（全国通用版）》专题06 方程与不等式中的方案设计问题（新背景）（原卷版）

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专题 06 方程与不等式中的方案设计问题（新背景）
1．2022 年4月16 日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟
十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知
每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多 10 元，同样花费 100 元，购进“天宫”模型的
数量比“神舟”模型多 5个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)飞箭航模店计划购买两种模型共 200 个，且每个“神舟”模型的售价为 30 元，“天宫”
模型的售价为 15 元．设购买“神舟”模型 个，销售这批模型的利润为 元．
①求 与 的函数关系式（不要求写出 的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的 ，则购进“神舟”模型多少个
时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
根据方程 (组)、不等式 (组)的整数解、函数等模型，对实际问题中的方案进行
比较来确定最优方案来解决问题。
方案设计题一般过程是：
① 阅读，弄清问题背景和基本要求；
② 分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；
③ 建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式 (组)模型或函数模型；
④ 解题，求解上述建立的方程、不等式或函数，结合实际确定最优方案．
2．某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息 1：甲乙两种商品的进货单价之和是 3元．信息 2：甲商品零售单价比进货单价多 2元，
乙商品零售单价比进货单价的 2倍少 1元．信息 3：按零售单价购买甲商品 3件和乙商品 2
件，共付了 15 元．请根据以上信息，解答请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求甲、乙两种商品的零售单价；
(2)该商店平均每天卖出甲商品 500 件和乙商品 400 件．经调查发现，甲种商品零售单价每
降0.1 元，甲种商品每天可多销售 100 件．商店决定把甲种商品的零售单价下降 m（m＞
0）元．在不考虑其他因素的条件下，当 m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取
的总利润为 1900 元？
3．夏季即将来临，空调的销售逐渐火起来，某商行去年 7月份销售某品牌 A型号空调总额
为32 万元，由于原材料涨价，今年该型号空调销售单价比去年提高了 400 元．若今年 7月
份与去年 7月份该型号空调销售量相同，则今年 7月份该型号空调的销售总额将增加
25%．
该品牌 A，B两种型号空调的进货和销售价格表如下：
A型号 B型号
进货价格（元/台） 1100 1400
销售价格（元/台） 今年的销售价格 2400
(1)求今年 7月份该品牌 A型号空调的销售单价；
(2)商行准备购入该品牌 A型号空调和 B型号空调共 400 台，且 B型号空调进货数量不超过
A型号空调数量的 2倍，应如何进货才能使这批空调获利最多？
4．2022 年杭州亚运会会后，吉祥物“江南忆”很受欢迎，非常畅销．小李用 1200 元批发
了一批吉祥物销售，很快售完，他又用 1200 元批发同样的吉祥物销售，由于批发价上涨了
20%，因此第二批吉祥物的数量比第一批少了 10 个．
(1)求每个吉祥物的批发原价是多少?
(2)调查发现，每个吉祥物的售价为 40 元时，每周可售出 30 个．小李为了增加销量，决定
降价促销，若售价每降低1元，每周的销量可增加 5个，每个吉祥物需要扣除 2元的小店
运营成本．求当吉祥物的售价为多少时每周的利润最大?最大利润是多少?（吉祥物的进价
全部按涨价后的价格计算）．
5．夏季来临，某商场准备购进甲、乙两种空调，其中甲种空调比乙种空调进价每台少 500
元，用40000 元购进甲种空调数量与用50000 元购进乙种空调数量相同．该商场计划一次
性从空调生产厂家购进甲、乙两种空调共 100 台，其中乙种空调的数量不超过甲种空调的
2倍．若甲种空调每台售价 2400 元，乙种空调每台售价 3000 元．请解答下列问题：
(1)求甲、乙两种空调每台的进价分别是多少元？
(2)设购进甲种空调 x台，100 台空调的销售总利润为 y元，求出 y与x之间的函数关系式及
自变量x的取值范围；
(3)该商店购进甲、乙两种空调各多少台才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
6．2022 年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱
销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各 30 个，共花费 1080 元．已知乙种纪念品每个进
价比甲种纪念品贵4元．
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