《【帮课堂】九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）》第11讲 正多边形与圆及圆的相关计算解析版

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第11 讲 正多边形与圆及圆的相关计算
知识点 01 正多边形与圆的相关概念、正多边形中各元素间的关系
1）正多边形：各边、各角都相等的多边形
注：正多边形必须同时满足 2个条件：①每一条边都相等；②每一个角都相等
2）正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心；正多边形的半径：正多边形外接圆的半径
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角
3）正多边形都是轴对称图形，共有 n条对称轴，每条对称轴都经过它的中心，当 n为偶数时，正 n边
形还是中心对称图形。
4）设正多边形的边长为 ，半径为 R，边心距为 ，中心角为 ；则有关系：
5）正多边形的一些关系：①正n边形的中线角 ；②正n边形的周长 ；
③正n边形的面积
【知识拓展】（2021·四川龙泉驿·九年级期末）如图，五边形 ABCDE 是⊙O的内接正五边形，则∠COD 的
度数是____．
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知识精讲
【答案】72°
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式： 计算即可．
【详解】解：∵五边形 ABCDE 是⊙O的内接正五边形，
∴五边形 ABCDE 的中心角∠COD 的度数为 ＝72°，故答案为：72°．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式： 是解题的关键．
【即学即练 1】（2021·河北怀安·初三期末）如图，正六边形 内接于圆 ，圆 半径为 2，则六
边形的边心距 的长为（ ）
A．2 B．C．4 D．
【答案】D
【分析】连接 OB、OC，证明△OBC 是等边三角形，得出 即可求解．
【解析】解：连接 OB、OC，如图所示：则∠BOC=60°，
∵OB=OC，∴△OBC 是等边三角形，∴BC=OB=2，
∵OM⊥BC，∴△OBM 为30°、60°、90°的直角三角形，∴ ，故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；
熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出 BM 是解决问题的关键．
【即学即练 2】（2021·山东龙口·九年级期末）如图，点 O是正五边形 ABCDE 的中心，⊙O是正五边形的外
接圆，∠ADE 的度数为（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
【答案】C
【分析】连接 OA，OE，由圆的内切正多边形先得到中心角的度数，由圆周角定理即可求得∠ADE 的度数．
【详解】如上图所示，连接 OA，OE∵五边形 ABCDE 是正五边形∴
∵⊙O是正五边形 ABCDE 的外接圆∴ 故选：C．
【点睛】本题主要考查圆的内切正多边形及圆周角定理，熟练掌握相关角度的计算方法是解决本题的关键．
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