《【帮课堂】九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）》第10讲 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系解析版

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第10 讲 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
知识点 01 圆的确定
1）经过一个已知点 A可画无数个圆。
2）经过已知两点 A，B作圆，可画无数个，它们的圆心在线段 AB 的垂直平分线上
3）经过同一直线上三个点 A、B、C的圆是不存在的。
4）经过不再同一直线上的三个点 A、B、C可画一个圆，而且只能作一个圆。
【知识拓展】（2021·江苏初三期末）平面直角坐标系内的三个点 A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－
3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”）
【答案】不能
【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．
【解析】解：∵B（0，-3）、C（2，-3），∴BC∥x轴，而点 A（1，-3）与 C、B共线，
∴点 A、B、C共线，∴三个点 A（1，-3）、B（0，-3）、C（2，-3）不能确定一个圆．故答案为：不能．
【点睛】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．
【即学即练 1】（2020·江苏苏州·初三月考）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，
为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
【答案】B
【分析】根据不共线的三点能确定一个圆即可判断.
【解析】由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块，故选 B.
【点睛】本题是确定圆的条件的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现.
知识点 02 点和圆的位置关系
1）点和圆的位置关系有 3种：圆外、圆上、圆内
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2）设O的半径为 r，点 P到圆心的距离 OP=d，则：
P在圆外 d>r； P在圆上 d=r； P 在圆内 d<r
【知识拓展】(2021.福建初三月考)已知⊙O的面积为 36π，若 PO＝7，则点 P在⊙O_____．
【答案】外
【分析】先由圆的面积求得⊙O的半径，再根据 PO=7，判断点 P与⊙O的位置关系．
【详解】设圆的半径为 r，
2
r
=36
，解得 r=6，∵PO=7，∴点 P在⊙O外.
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，求得⊙O的半径是解题的突破口.
【即学即练 1】（2021.绵阳市期中）体育课上，小悦在点 O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的
M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【答案】C
【分析】根据点和圆的位置关系，知最好成绩在 P点.
【详解】P点与 O点距离最长，且在有效范围内，所以最好成绩在 P点.
【点睛】考查了点和圆的位置关系．
【即学即练 2】（2021.广东省初三期中）如图，
ABC
为直角三角形，
90C
∠
，
6AC
，
8BC
，
以点
C
为圆心，以
为半径作圆
C
，则
ABC
斜边的中点
D
与圆
C
的位置关系是（ ）
A．点
D
在圆
C
上B．点
D
在圆
C
内C．点
D
在圆
C
外D．不能确定
【答案】B
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，本题先由勾股定理求出
斜边 AB 的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 CD 的长，然后根据点到圆心距离与
半径的关系即可确定该点与圆的位置关系．
【详解】解：∵Rt△ABC 中，∠C=Rt∠，AC=6，BC=8，∴AB=
2 2
AC BC
=10，
∵D为斜边 AB 的中点，CD=
1
2
AB=5，d=5，r=6，∴d＜r，∴点 D与⊙C内，故选 B.
【点睛】本题根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，来判断点和圆的位置关系．点与圆的位置
关系有 3种．设⊙O的半径为 r，点 P到圆心的距离 OP=d，则有：①点 P在圆外⇔d＞r；②点 P在圆上
⇔d=r；③点 P在圆内⇔d＜r．
知识点 03 三角形的外接圆
1）外接圆：一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个圆叫作这个多边形的外接圆
外心：三角形三条边垂直平分线的交点（即三角形的外接圆圆心）
2）三角形外接圆特点：外心到三角形三个顶点的距离相等
【知识拓展】（2020·山东广饶初三其他）下列四个命题：
①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
③三角形有且只有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤过三点有且只有一个圆．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的定义、圆周角的性质、三角形的外接圆、垂径定理、圆的确定依次判断即可.
【解析】①等边三角形是中心对称图形不是中心对称图形，故错误；
②在圆中一条弦所对的圆周角有两个，则在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角不一定相等，故错误；
③三角形有且只有一个外接圆，故正确；④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
⑤过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，故错误；故是真命题的是③，故选：A.
【点睛】此题考查真命题：正确的命题是真命题，正确掌握中心对称图形的定义、圆周角的性质、三角形
的外接圆、垂径定理、圆的确定是解此题的关键.
【即学即练 1】（2021·北京市海淀外国语实验学校初三其他）小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，
需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点 A，B，C，给出
三角形 ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）
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