《【帮课堂】九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）》第7讲 二次函数的应用解析版
第7讲 二次函数的应用
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意
识．
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的
数学模型．
知识点
一、列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二
次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么 ，
找出等量关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是
二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
特别说明：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、
抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出
相关的函数关系式.二、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所
求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
特别说明：
(1) 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利
用题中存
在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图像及性质去研究问题.在
研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
① 首先必须了解二次函数的基本性质；
② 学会从实际问题中建立二次函数的模型；
③ 借助二次函数的性质来解决实际问题.
【知识拓展 1】如图，利用一面长为 34 米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地
ABCD
，在
AB
和
BC
边各有一个 2 米宽的小门（不用铁栅栏）．设矩形
ABCD
的边
AD
长为
x
米，
AB
长为
y
米，矩
形的面积为
S
平方米，且
x
＜
y
．
目标导航
知识精讲
（1）若所用铁栅栏的长为 40米，求
y
与
x
的函数关系式，并直接写出自变量
x
的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求
S
与
x
的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为 192平
方米？
【答案】（1）
；
（2），
AD
=6 米，
AB
=32 米．
【解析】（1）由 34 米的墙，及 2 米宽的小门，得到平行与墙的边，以及垂直于墙的两条边之和，
由
AD
=
x
，
AB
=
y
，所用铁栅栏的长为 40米，根据求出的之和表示出
y
与
x
的关系式；
（2）由（1）表示出的
y
与
x
的关系式，列出
S
与
x
的函数关系式，根据矩形场地的面积为 192
平方米，求出
AD
与
AB
的长即可．
试题解析：解：（1）∵
y
+2
x
-2×2=40,
∴
y
=-2
x
+44,
∴5≤
x
＜；
（2）∵
y
=-2
x
+44,
∴
S
=
xy
=
x
（-2
x
+44）=-2
x
2+44
x
；
∵矩形场地的面积为 192平方米，
∴-2
x
2+44
x
=192，
∴
x
=6 或
x
=16（不合题意），
∴
AB
=
y
=-2
x
+44=-2×6+44=32．
答：
AD
=6 米，
AB
=32 米才能使矩形场地的面积为 192平方米．
【知识拓展 2】如图,在矩形
ABCD
中,
AB
=2
AD
,线段
EF
=10.在
EF
上取一点
M
,分别以
EM
、
MF
为一
边作矩形
EMNH
、矩形
MFGN
,使矩形
MFGN
∽矩形
ABCD
.令
MN
=
x
，当
x
为何值时，矩形
EMNH
的面积
S
有最大值，最大值是多少?
【答案】252
【解析】∵矩形
MFGN
∽矩形
ABCD
，∴
MNAD
=
MFAB
.
∵
AB
=2
AD
，
MN
=
x
，∴
MF
=2
x
.(2 分)
∴
EM
=
EF
−
MF
=10−2
x
(0<
x
<5).
∴
S
=
x
(10−2
x
)(5 分)=−2
x
2+10
x
=−2(
x
−)2+252
∴当
x
= 时,
S
有最大值为 252。
【知识拓展 3】某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 400 千克．经
市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1元，日销售量将减少 20 千克．
（1）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？
（2）若商场只要求保证每天的盈利为 4420 元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少
元？
【解析】（1）设涨价
x
元时总利润为
y
，
则
y
=（10+
x
）（400﹣20
x
）=﹣20
x
2+400
x
+4000=﹣20（
x
﹣5）2+4500
答：当每千克涨价 5元时，每天的盈利最多，最多为 4500 元．
∴当
x
=5 时，
y
取得最大值，最大值为 4500．
（2）设每千克应涨价
x
元，则（10+
x
）（400﹣20
x
）=4420 解得
x
=3 或
x
=7，
∵为了使顾客得到实惠，所以
x
=3．
答：每千克应涨价 3元．
【知识拓展 4】如图 1，地面
BD
上两根等长立柱
AB
，
CD
之间悬挂一根近似成抛物线
y
=
x
2﹣
x
+3
的绳子．
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离
AB
为3米的位置处用一根立柱
MN
撑起绳子（如图 2），使左边抛物线
F
1
的最低点距
MN
为1米，离地面 1.8米，求
MN
的长；
（3）将立柱
MN
的长度提升为 3 米，通过调整
MN
的位置，使抛物线
F
2对应函数的二次项系数始
相关推荐
-
《【中职专用】备战中职高考英语冲刺模拟卷（二）（天津适用）》英语模拟试题答案（八）
2025-05-08 40 -
《【中职专用】备战中职高考英语冲刺模拟卷（二）（天津适用）》英语模拟试题（一）
2025-05-08 45 -
《【中职专用】备战中职高考英语冲刺模拟卷（二）（天津适用）》英语模拟试题（五）
2025-05-08 45 -
《【中职专用】备战中职高考英语冲刺模拟卷（二）（天津适用）》英语模拟试题（四）
2025-05-08 39 -
《【中职专用】备战中职高考英语冲刺模拟卷（二）（天津适用）》英语模拟试题（三）
2025-05-08 46 -
《【中职专用】备战中职高考英语冲刺模拟卷（二）（天津适用）》英语模拟试题（七）
2025-05-08 107 -
《【中职专用】备战中职高考英语冲刺模拟卷（二）（天津适用）》英语模拟试题（六）
2025-05-08 124 -
《【中职专用】备战中职高考英语冲刺模拟卷（二）（天津适用）》英语模拟试题（二）
2025-05-08 114 -
《【中职专用】备战中职高考英语冲刺模拟卷（二）（天津适用）》英语模拟试题（八）
2025-05-08 113 -
《【中职专用】备战中职高考英语冲刺模拟卷（山东专用）》2022年山东春考英语模拟卷八
2025-05-08 116
作者：cande
分类：高中
价格：3知币
属性：61 页
大小：2.46MB
格式：DOC
时间：2025-05-02
作者详情
相关内容
-
《【中职专用】备战中职高考英语冲刺模拟卷（二）（天津适用）》英语模拟试题（七）
分类：高中
时间：2025-05-08
标签：无
格式：DOCX
价格：3 知币
-
《【中职专用】备战中职高考英语冲刺模拟卷（二）（天津适用）》英语模拟试题（六）
分类：高中
时间：2025-05-08
标签：无
格式：DOCX
价格：3 知币
-
《【中职专用】备战中职高考英语冲刺模拟卷（二）（天津适用）》英语模拟试题（二）
分类：高中
时间：2025-05-08
标签：无
格式：DOCX
价格：3 知币
-
《【中职专用】备战中职高考英语冲刺模拟卷（二）（天津适用）》英语模拟试题（八）
分类：高中
时间：2025-05-08
标签：无
格式：DOCX
价格：3 知币
-
《【中职专用】备战中职高考英语冲刺模拟卷（山东专用）》2022年山东春考英语模拟卷八
分类：高中
时间：2025-05-08
标签：无
格式：DOCX
价格：3 知币
