《【帮课堂】九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）》第03讲 三角函数的应用及利用三角函数测高解析版

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第03 讲 三角函数的应用及利用三角函数测高
1. 会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．
2.理解用三角函数解决实际问题的有关概念；
3.理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题。
知识点 01 锐角三角函数之间的关系
如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90°．
(1)互余关系： ， ；
(2)平方关系： ；
(3)倒数关系： 或 ；
(4)商数关系： ．
　 　 要点诠释：
　 　 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的
计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
【知识拓展 1】利用同角三角函数关系求值
计算：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）2.
【分析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可；(2)根据直角三角形中 tanA=
，sin2A+cos2A=1，sinA=cosB 计算.
解： 原式 ；
原式 .
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知识精讲
故答案为：（1） ；（2）2.
【点拨】本题考查了三角函数值的计算.
【即学即练 1】已知∠A为锐角且 sinA= ，则 4sin2A－4sinAcosA＋cos2A的值是多少。
【答案】
【分析】先求出 的度数，再求出 的值，最后代入计算即可.
解： 为锐角，且
.
【点拨】本题考查了锐角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.
【即学即练 2】.如图，在 中， ， 是对角线 上的两点（点 在点 左侧），
且 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）当 ， ， 时，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到 AB=CD， ，和已知条件一起，用于
证明三角形全等，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理得出结论；
（2）根据平行四边形的性质得到一组对角相等，通过等量代换，得到 ，则
相等的角正切值也相等，根据比值算出结果．
解：（1）证明 ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：∵ ，
∴BE=DF，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
在 中 ， ，
∴AE=3，BE=4．
∵BE=DF，AE=CF，
∴BE=DF=4，AE=CF=3，
， ，
∴ ，
∴tan∠CBF=，tan∠ECF=，
∴ ，得到 EF=，或 EF=（舍去），
∴BD=4+4+ = ，
即BD=．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定以及相等的角的正切值也相等．解决本题的
关键在于等量代换出角相等，应用相等的角的正切值也相等来解题．
【即学即练 3】求值：
(1) ； 已知 ，求 的值．
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