《【帮课堂】九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）》第2讲 解直角三角形解析版

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第 2 讲 解直角三角形
解直角三角形为中考必考内容，至少有一道是解答题，常是利用解直角三角形的相关知识来解决实际问题。
在解直角三角形的综合题中，常与非特殊角结合在一起考，这种题几乎是中考数学的必考题。在教学中，
一要注意强调书写格式问题；二是要给学生储备典型的直角三角形模型（如：背靠背型和母子型等）。
知识点
一、解直角三角形
　 　 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
　 　 在直角三角形中，除直角外，一共有 5个元素，即三条边和两个锐角.
　 　 设在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为 a、b、c，则有：
　 　 ①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
　 　 ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
　 　 ③边角之间的关系：
　　　 ， ， ，
　　　 ， ， .
　 　 ④ ，h为斜边上的高.
要点诠释：
　 　 (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为 90°)，是已知值.
　 　 (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
　 　 (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
二、解直角三角形的常见类型及解法
已知条件 解法步骤
Rt△ABC 两
边
两直角边(a，b)
由 求∠A，
∠B=90°－∠A，
目标导航
知识精讲
斜边，一直角边(如 c，a)
由 求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如 c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，
要点诠释：
　 　 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素
是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.
　 　 2“ ”．若题中无特殊说明， 解直角三角形 即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.
【知识拓展 1】如图，已知一商场自动扶梯的长 l为 10 米，该自动扶梯到达的高度 h为 6 米，自动扶梯与
地面所成的角为 α，则 tanα 的值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】在由自动扶梯构成的直角三角形中，已知了坡面 l和铅直高度 h的长，可用勾股定理求出坡面的
水平宽度，进而求出 θ的正切值．
解：如图；
在Rt△ABC 中，AC=l=10 米，BC=h=6 米；
根据勾股定理，得：AB= =8 米；
∴tanθ= ；
故选 C．
【知识拓展 2】王英同学从 A地沿北偏西 60°方向走 100m到B地，再从 B地向正南方向 走 200m到C地，
此时王英同学离 A地（ ）
100m
200m
C
A
B
南
北
西
A、50
3
m B、100m C、150m D、100
3
m
【答案】D
【解析】根据三角函数分别求 AD，BD 的长，从而得到 CD 的长．再利用勾股定理求 AC 的长即可．
解答：解：AD=AB•sin60°=50 ；
BD=AB•cos60°=50，∴CD=150．
∴AC= =100 ．
故选 D．
【知识拓展 3】如图，四边形 ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=2 ，AD=2，则四边形 ABCD
的面积是（ ）
A.4 B.4 C.4 D.6
【答案】A
【解析】作辅作线，构造直角三角形，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三
角形边的关系，可求出各边的长，然后四边形 ABCD 的面积．
分别延长 CD，BA 交于点 E．
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