《【帮课堂】023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）》第23讲 导数在研究函数的单调性中的应用（原卷版）

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第5章导数及其应用
导数在研究函数的单调性中的应用
课程标准 重难点
1.借助几何直观了解函数的单调性与导数
的关系.
2.能利用导数求不超过三次多项式函数的
单调区间.
3.理解导数与函数的单调性的关系
重点∶导数与函数的单调性的应用.
难点∶对导数与函数单调性关系的理解.
知识点 01 函数的单调性与导数的关系
1.一般地，在区间（a，b）上，函数 f（x）的单调性与导数 f′（x）的正负有如下关系.
导数 函数的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
f′(x)=0 常函数
2. 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数 y=f(x)的单调性∶
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知识精讲
第1步∶确定函数的定义域；
第2步∶求出导数 f(x)的零点；
第3步∶用 f(x)的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f(x)在各区间上的正负，由此得出函
数y=f(x)在定义域内的单调性.
【即学即练 1】（2021·宁夏·海原县第一中学）函数
f(x)=(x − 3)ex
的单调递减区间是（vvvv）
A．
¿
,
2¿
B．
¿
,
3¿
C．
¿
,
D．
¿
,
+∞¿
【即学即练 2】（2022·安徽·长丰北城衡安学校高三开学考试）函数
f
(
x
)
=x3− x2+x
的单调递增区间为__
____.
◆考点 01 含参函数的单调区间
【典例 1】（2022·江苏·盐城经济技术开发区中学高三阶段练习）已知函数
f
(
x
)
=ax − 3 ln x
．
讨论函数
f
(
x
)
的单调性；
【典例 2】（2007·山东·高考真题（理））设函数
f
(
x
)
=ax −
(
a+1
)
ln
(
x+1
)
，其中
a ≥ −1
，求
f
(
x
)
的单调
区间．
【典例 3】（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）设函数
f
(
x
)
=a x2+
(
2a −1
)
x − ln x
(
a∈R
)
.
讨论
f
(
x
)
的单调性；
【典例 4】（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知函数
f
(
x
)
=m x3− mx − x ln x
(
m∈R
)
.
若
f
(
x
)
的导函数为
g
(
x
)
，试讨论
g
(
x
)
的单调性；
◆考点 02 已知单调区间求参数
【典例 5】若函数
f
(
x
)
=x2−ax +ln x
在区间
(
1, e
)
上单调递增，则实数 a的取值范围是（vvvv）
A．
[
3,+∞
)
B．
(
− ∞ , 3
]
C．
[
3,e2+1
]
D．
(
− ∞ ,e2+1
]
【典例 6】若函数
f(x)=ln (x+1)− mx
在区间
(0,+∞)
上单调递减，则实数 m的取值范围是（vvvv）
A．
¿
B．
(− ∞ , −1)
C．
(1,+∞)
D．
¿
【典例 7】已知函数 f(x)＝lnx，g(x)＝
1
2
ax2＋2x.
（1）若函数 h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数 a的取值范围；
能力拓展
（2）若函数 h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数 a的取值范围.
【典例 8】已知函数
f
(
x
)
=ln x+x2+ax
的单调递减区间为
(
1
2,1
)
，则（vvvv）.
A．
a∈
(
−∞ , −3
]
B．
a=−3
C．
a=3
D．
a∈
(
−∞ , 3
]
【典例 9】已知函数
f
(
x
)
=
(
1− x
)
ln x+ax
在
(
1,+∞
)
上不单调，则
a
的取值范围是（vvvv）
A．
(
0,+∞
)
B．
(
− ∞ , 0
)
C．
[
0,+∞
)
D．
(
− ∞ , 0
]
◆考点 03 单调性与图像
【典例 10】函数
f
(
x
)
=a x3+b x2+cx +d
的图象如图，则函数
y=a x2+3
2bx +c
3
的单调递增区间是(%%%%)
A．
(
− ∞ , −2
]
B．
¿
C．
[
−2,3
]
D．
¿
【典例 11】如图是
y=f'
(
x
)
的图像，则函数
y=f
(
x
)
的单调递减区间是（vvvv）
A．
(
−2,1
)
B．
(
−2,0
)
,
(
2,+∞
)
C．
(
− ∞ , −1
)
D．
(
− ∞ , −1
)
,
(
1,+∞
)
◆考点 04 利用导数图像解不等式
【典例 12】定义域为
R
的可导函数的导函数
y=f
(
x
)
为
f'
(
x
)
，满足
f
(
x
)
>f'
(
x
)
，且
f
(
0
)
=1
，则不等式
f
(
x
)
<ex
的解集为（vvvv）
A．
(
− ∞ , 2
)
B．
(
2,+∞
)
C．
(
− ∞ , 0
)
D．
(
0,+∞
)
【典例 13 】已知定义在
R
上的函数
f
(
x
)
的导函数为
f'
(
x
)
， 若
f'
(
x
)
<ex
， 且
f
(
2
)
=e2+2
，则不等式
f
(
ln x
)
>x+2
的解集是（vvvv）
A．
(
0,e2
)
B．
(
0,2
)
C．
(
− ∞ ,e2
)
D．
(
− ∞ , 2
)
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