《【帮课堂】023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）》第23讲 导数在研究函数的单调性中的应用（解析版）

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第5章导数及其应用
导数在研究函数的单调性中的应用
课程标准 重难点
1.借助几何直观了解函数的单调性与导数
的关系.
2.能利用导数求不超过三次多项式函数的
单调区间.
3.理解导数与函数的单调性的关系
重点∶导数与函数的单调性的应用.
难点∶对导数与函数单调性关系的理解.
知识点 01 函数的单调性与导数的关系
1.一般地，在区间（a，b）上，函数 f（x）的单调性与导数 f′（x）的正负有如下关系.
导数 函数的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
f′(x)=0 常函数
2. 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数 y=f(x)的单调性∶
目标导航
知识精讲
第1步∶确定函数的定义域；
第2步∶求出导数 f(x)的零点；
第3步∶用 f(x)的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f(x)在各区间上的正负，由此得出函
数y=f(x)在定义域内的单调性.
【即学即练 1】（2021·宁夏·海原县第一中学）函数
f(x)=(x − 3)ex
的单调递减区间是（vvvv）
A．
¿
,
2¿
B．
¿
,
3¿
C．
¿
,
D．
¿
,
+∞¿
【答案】A
【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系解不等式
f ' (x)<0
进行求解即可.
【详解】函数的导数
f'
(
x
)
=ex+
(
x− 3
)
ex=
(
x −2
)
ex
由
f'
(
x
)
<0
得
(
x − 2
)
ex<0
，
即
x − 2<0
得
x<2
，
即函数的单调递减区间为
¿
,
2¿
，
故选：A
【即学即练 2】（2022·安徽·长丰北城衡安学校高三开学考试）函数
f
(
x
)
=x3− x2+x
的单调递增区间为__
____.
【答案】
(
− ∞,+∞
)
【分析】求出导函数
f'
(
x
)
，解不等式
f'
(
x
)
≥0
即可得到.
【详解】由题意知，
f
(
x
)
=x3− x2+x
定义域为 R，
f'
(
x
)
=3x2−2x+1
，
且
f'
(
x
)
=3x2−2x+1=3
(
x − 1
3
)
2
+2
3>0
在R上恒成立，
所以，函数
f
(
x
)
=x3− x2+x
的单调递增区间为
(
− ∞,+∞
)
.
故答案为：
(
− ∞,+∞
)
◆考点 01 含参函数的单调区间
【典例 1】（2022·江苏·盐城经济技术开发区中学高三阶段练习）已知函数
f
(
x
)
=ax − 3 ln x
．
讨论函数
f
(
x
)
的单调性；
【答案】当
a ≤ 0
时，
f(x)
在
(0,+∞)
上单调递减；当
a>0
时，
f(x)
在
(0,3
a)
上单调递减，在
(3
a,+∞)
上单
能力拓展
调递增
【分析】对函数
f
(
x
)
进行求导，然后对
a
进行分类讨论，根据导函数值的正负，得到函数的单调区间
【详解】由
f
(
x
)
=ax − 3 ln x
，得
f'(x)=a− 3
x=ax − 3
x
，
x>0
，
当
a ≤ 0
时，
f'(x)<0
，
∴
f
(
x
)
在
(0,+∞)
上单调递减；当
a>0
时，
f'(x)= ax −3
x=a⋅
(x − 3
a)
x
，
由
x>3
a
时，
f'(x)>0
，
f
(
x
)
在
(3
a,+∞)
上单调递增，由
x<3
a
时，
f'(x)<0
，
f(x)
在
(0,3
a)
上单调递减，
∴
综上所述，当
a ≤ 0
时，
f(x)
在
(0,+∞)
上单调递减；当
a>0
时，
f(x)
在
(0,3
a)
上单调递减，在
(3
a,+∞)
上单调递增
【典例 2】（2007·山东·高考真题（理））设函数
f
(
x
)
=ax −
(
a+1
)
ln
(
x+1
)
，其中
a ≥ −1
，求
f
(
x
)
的单调
区间．
【答案】答案见解析
【分析】求出函数
f
(
x
)
的定义域，对实数
a
的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数
f
(
x
)
的增区间和减区间.
【详解】函数
f
(
x
)
=ax −
(
a+1
)
ln
(
x+1
)
的定义域为
(
−1,+∞
)
，
f'
(
x
)
=a − a+1
x+1=ax − 1
x+1
.
①当
−1≤ a ≤0
时，对任意的
x>−1
，
f'
(
x
)
<0
，
此时，函数
f
(
x
)
的减区间为
(
−1,+∞
)
，无增区间；
②当
a>0
时，由
f'
(
x
)
<0
可得
−1<x<1
a
，由
f'
(
x
)
>0
可得
x>1
a
.
此时，函数
f
(
x
)
的减区间为
(
−1,1
a
)
，增区间为
(
1
a,+∞
)
.
综上所述，当
−1≤ a ≤0
时，函数
f
(
x
)
的减区间为
(
−1,+∞
)
，无增区间；
当
a>0
时，函数
f
(
x
)
的减区间为
(
−1,1
a
)
，增区间为
(
1
a,+∞
)
.
【典例 3】（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）设函数
f
(
x
)
=a x2+
(
2a −1
)
x − ln x
(
a∈R
)
.
讨论
f
(
x
)
的单调性；
【答案】当
a ≤ 0
时，
f
(
x
)
在区间
(
0,+∞
)
上单调递减；
当
a>0
时
f
(
x
)
在区间
(
0,1
2a
)
上单调递减，在区间
(
1
2a,+∞
)
上单调递增
【分析】求出函数的导数，分类讨论 a的取值范围，根据导数的正负，即可得答案;
【详解】由于
f
(
x
)
=a x2+
(
2a −1
)
x − ln x
(
a∈R
)
，则定义域为
(0,+∞)
，
可得：
f'
(
x
)
=2ax +
(
2a −1
)
−1
x=2a x2+
(
2a −1
)
x − 1
x=
(
x+1
) (
2ax −1
)
x
，
当
a ≤ 0
时，∵
x>0
，∴
f'
(
x
)
<0
，故
f
(
x
)
在区间
(
0,+∞
)
上单调递减；
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