《【帮课堂】023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）》第20讲 放缩与数列不等式的证明（学生版）

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知识精讲
第四章 数列
第 20 讲 放缩与数列不等式的证明
课程标准 重难点
1.掌握求数列不等式证明的几种方法；
2.掌握常见的放缩的模型 1.放缩不等式的证明
知识点 01 简单数列不等式的证明
方法解密:
对于既不含参数也无需放缩的数列不等式,解题思路较为简单.通过数列求和的方法,错位相减或者裂项相
消即可证明.大可分为两种题型,一是数列不等式的证明,二是通过不等式求解 n 的取值范围.下面我们来看
下数列不等式证明的例题.
【即学即练 1】已知等比数列 为递增数列，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 n项和为 ，证明： ．
【即学即练 2】已知正项数列 的前 n项和为 ，且满足 ， ， ，数列 满
足 ．
(1)求出 ， 的通项公式；
(2)设数列 的前 n项和为 ，求证： ．
【即学即练 3】已知数列 前 项和为 ，若 ，且 成等差数列．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)记数列 的前 项和为 ，求证： ．
【即学即练 4】等差数列 前 n项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 n项和为 ，若 ，求 n的最小值．
知识点 02 数列不等式求解参数
方法解密:
对于此类含参数不等式题型,大部分可以通过分离参数等方式转化为最值问题.对于求最值,需要分析单调
性,函数类型可通过运算法则或者求导进行判断.数列可通过作差法进行判断.即 对 恒
成立,数列单调递增. 对 恒成立,数列单调递减.
含参不等式问题又可以分为恒成立问题和存在性(有解)问题.
(1) 恒成立，则
(2) 恒成立，则
下面看一下有关恒成立问题的例题:
【即学即练 5】已知 ，若 对于任意 恒成立，则实数 的取值范围是_______．
【即学即练 6】已知数列 满足 ， 且 ．若对任意
， ，不等式 恒成立，则正整数 的最小值为______．
分离参数的关键是需要求谁的值以及范围,就将谁分离出来.然后观察是恒成立还是存在性问题,两种问法
对于最值的选择是不同的.接下来是有关存在性问题的例题:
【即学即练 7】数列{an}的通项公式为 an＝3n，记数列{an}的前 n项和为 Sn，若 使得
成立，则实数 k的取值范围是______．
【即学即练 8】已知数列 前 项和为 ，且
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 为数列 的前 项和，且存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
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