《【帮课堂】023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）》第19讲 五种数列求和方法总结（教师版）

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知识精讲
第四章 数列
第 19 讲 五种数列求和方法总结
课程标准 重难点
1.掌握求数列的常见的几种方法；
2.掌握常见的构造法的应用 1.八种构造的适用条件及应用
知识点 01 错位相减法
错位相减法是求解由等差数列 和等比数列 对应项之积组成的数列 (即)的前 项和
的方法.这种方法运算量较大,要重视解题过程的训练.在讲等比数列的时候, 我们推导过等比数列的求和公式,
其过程正是利用错位相减的原理, 等比数列的通项 其实可以看成等差数列通项 与等比数列通
项 的积.
公式秒杀:
( 错位相减都可化简为这种形式 , 对于求解参数 与, 可以采用将前
1
项和与前
2
项
和代入式中 , 建立二元一次方程求解 . 此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据 .)
【即学即练 1】设数列 的前 n项和为 ，若 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 n项和 ．
【答案】(1) ； (2) .
【解析】
(1)因为 ．
所以 ，解得 ．
当 时， ，
所以 ，所以 ，即 ．
因为 也满足上式，所以 是首项为 1，公比为 2的等比数列，所以 ．
(2)由（1）知 ，所以 ，
所以 …①
…②
①-②得
，所以 ．
【即学即练 2】已知等差数列 的前 n项和为 ，数列 为等比数列，且 ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 n项和 ．
【答案】(1) ， (2)
【解析】
(1)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由题意得： ，解得： ，
所以 ，
由 得： ，所以 ，
所以
(2) ，
则 ①，
②，
两式相减得：
，
所以
【即学即练 3】已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)设等比数列 的公比为 ，当 时， ，所以 ， ，无解．
当 时， ，所以 解得 ， 或 ， （舍）．
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