《【帮课堂】023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）》第18讲 八种构造法求通项公式(二)（教师版）

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知识精讲
第四章 数列
第 18 讲 八种构造法求通项(二)
课程标准 重难点
1.掌握求数列的常见的几种方法；
2.掌握常见的构造法的应用 1.八种构造的适用条件及应用
知识点 01 构造法求通项公式
◆构造四:同型构造法
所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同
的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.
模型一: ,构造 ,则 , 为常数数列.
模型二: ,构造 ,则 , 为常数数列.
模型三: ,构造 ,则 ,
为常数数列.
模型四: ,构造 ,则 , 为等比数列.
模型五: ,构造
,则 , 为等比数列.
模型六: ,构造 ,则 , 为等差数列.
模型七: ,构造 ,则 , 为等差数列.
模型八: ,构造 ,则 , 为等差数列.
看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式
子,尽量将 和 , 和 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.
【即学即练 1】已知数列 满足 ,求 .
【解析】
因为 ,所以 令 ,则 ,即 是常数数列,所以 ,即
.
【即学即练 2】已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式.
【解析】
因为 ,所以 令 ,则 ,
即 是常数数列,所以 因此
【即学即练 3】已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式.
【解析】
,等式两侧同除 ,形成 ,令 ,则 ,这
又回到了构造一的形式,所以 , 是以 2 为首项,2 为公比的等差数列,即
, ,所以 , .
【即学即练 4】已知 ,且 ,求数列 的通项公式.
【解析】
等式两侧同除 ,得 ,即
, ,另 ，
所以 ,接下来就是叠加法发挥作用的时候了
……
叠加得 , ,所以 ，即 ， .
◆构造五:取倒数构造等差
类型一:数列 满足: ,则有 .
所以 是以 为首项, 为公差的等差数列,即 .(当分母出现加减时,我们很难将它
进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点).
类型二:数列 满足: ,则有 .
所以 是等差数列.
类型三:若数列 的前 项和为 ,且满足 ,则有 ,两边同除以
得: ,故 是以 为首项, 为公差的等差数列,即 ,再用
,求 .
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