《【帮课堂】023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）》第17讲 叠加叠乘与八种构造法求通项公式(一)（学生版）

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知识精讲
第四章 数列
第 17 讲 叠加叠乘与八种构造法求通项
课程标准 重难点
1.了解叠加与叠乘的适用条件
2.掌握求数列的常见的几种方法；
3.掌握常见的构造法的应用
1.叠加与叠乘法的应用
2.八种构造的适用条件及应用
知识点 01 叠加法与叠乘法求通项公式
1.累加法
若数列
{
an
}
满足
an+1−an=f(n) (n∈N¿)
，则称数列
{
an
}
为“变差数列”，求变差数列
{
an
}
的通项时，利
用恒等式
an=a1+(a2−a1)+( a3−a2)+¿⋅¿+( an−an−1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+¿⋅¿+f(n−1)( n≥2)
求
通项公式的方法称为累加法.
具体步骤：
将上述 个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得： =
【即学即练 1】已知数列 满足 ，对任意的 都有 ，则 （）
A．B．C．D．
【即学即练 2】已知数列 满足 ， ，则 （）
A．30 B．31 C．22 D．23
【即学即练 3】已知数列 满足 ， ，则 （）
A．B．C．D．
【即学即练 4】已知数列 满足 则 （）
A．B．C．D．
2.累乘法
若数列
{
an
}
满足
an+1
an
=f(n)(n∈N¿)
，则称数列
{
an
}
为“变比数列”，求变比数列
{
an
}
的通项时，利用
求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
将上述 个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
【即学即练 5】已知 ， ，则数列 的通项公式是 （）
A．B．C．D．n
【即学即练 6】若数列 满足 ，则 （）
A．2 B．6 C．12 D．20
【即学即练 7】设 是首项为 的正项数列，且 （ ），则它的通项
公式是 （）
A．B．C．D．
【即学即练 8】已知数列 满足 ，且 ，则 ()
A．B．C．D．
知识点 02 构造法求数列通项
◆构造一:待定系数之 型构造等比数列
求关于 (其中 均为常数, )类型的通项公式时,先把原递推公式转化
为 ,再利用待定系数法求出 的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类
式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数 ,构造成等比数列.常数 的值并不需要背诵,我们可以
通过待定系数法推导出来.
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