《【帮课堂】023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）》第15讲 等差数列（学生版）

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知识精讲
第四章 数列
第 15 讲 等差数列
课程标准 重难点
1.了解等差数列的有关概念；
2.掌握等差数列的通项公式及其性质；
3.掌握等差数列的前 n项和的公式与性质.
通过本节课的学习，要求会依据若干项求
通项公式或某一项，能利用递推公式求解
数列中的项或通项公式，并能借助数列的
单调性求数列的最大项与最小项.
知识点 01 等差数列的概念及通项
1.定义
一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数
列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母 表示.
2.等差数列的判定
(1) (定义法); (2) (中项法);
(3) (通项法, 一次函数); (4) (和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点).
3.等差数列通项公式
的几何意义是过 两点的直线的斜率.
【即学即练 1】已知数列 满足 ，其中 ，则 （）
A．1 B．C．2 D．
【即学即练 2】已知等差数列 的通项公式 ，则它的公差为（）
A．3 B．C．5 D．
【即学即练 3】首项为 的等差数列，从第 10 项开始为正数，则公差 d的取值范围是（）．
A．B．C．D．
【即学即练 4】等差数列 中， ，则 的公差为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【即学即练 5】已知数列{an}的前 n项和为 Sn，满足 a1=1， － =1，则 an=（）
A．2n－1 B．nC．2n－ 1 D．2n-1
知识点 02 等差数列的性质
设 为等差数列,公差为 ,则
1.若 ,则 .
特别地,(1)若 ,则 ;
2.若 ,则 ;
3.若 是有穷等差数列 ,则与首、末 两项等距离的两项之和 都相等 , 且等于首 、末两项之和 ,即
.
4.数列 是常数)是公差为 的等差数列.
5.若 是公差为 的等差数列, 与 的项数一致,则数列 为常数)是公差为
的等差数列.
6.下标成等差数列且公差为 的项 组成公差为 的等差数列.
7.在等差数列 中,若 ,则有 .
【即学即练 6】设 是等差数列，且 ， ，则 （）
A．B．C．D．
【即学即练 7】已知数列 为等差数列， ，则 （）
A．9 B．12 C．15 D．16
【即学即练 8】是等差数列，且 ， ，则 的值（）
A．B．C．D．
【即学即练 9】在等差数列 中，若 ，则 ______．
【即学即练 10】设 是公差为－2的等差数列，如果 ，那么
______．
【即学即练 11】若 是公差为 1的等差数列，则数列 ______（选填“是”或“不是”）等
差数列．若是等差数列，则公差为______．
知识点 03 等差数列前 n 项和
1.等差数列前 n 项和公式
(1)
(2)
(3) (关于前 n项和的最大值与最小值可选择此二次函数形式)
2.等差数列前 n 项和公式与二次函数的关系
等 差 数 列 的 前 项 和 , 令 , 则
.
(1) 当 (即 )时, 是常数函数, 是各项为 0 的常数列.
(2) 当 (即 )时, 是关于 的一次函数, 是各项为非零的常数列.
(3) 当 (即 )时, 是关于 的二次函数(常数项为 0).
从上面的分析,我们可以看出:
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