《《高二数学（北师大版2019选择性必修第二册）讲义+单元检测》》特色专题二：同构函数（讲义+典型例题+小练）（原卷版）

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特色专题二：同构函数（讲义+典型例题+小练）

同构式：在成立或恒成立命题中，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出

来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑

大大加快解决问题的速度。找到这个函数模型的方法，我们称为同构法。具有

相同结构的两个代数式称为同构式。

例如：若 F(x)≥0 能等价变形为 f[g(x)] ≥f[h(x)]，然后利用 f(x)的单调性，如递增，

再转化为 g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为

同构方程），简称同构法。

第一类：常见类型同构函数

(1) 构造函数 xf(x)，：当条件中含“＋”时优先考虑 xf(x)；当条件中含“－”时

优先考虑.

(2)构造函数：条件中含“xf′(x)－nf(x)”的形式；

构造函数 xf(nx)：条件中含“nxf′(nx)＋f(nx)”的形式.

(3)构造函数：条件中含“f′(x)－f(x)”的形式.

(4)构造函数：条件中含“f′(x)sin x－f(x)cos x”的形式.

例1： 1.已知函数的图像关于轴对称，且当时，

成立，若，，，则的大小关系（）

2.设函数是奇函数（）的导函数，，当时，

，则使得成立的的取值范围是（）

A．B．

C．D．

3.已知函数满足：，那么系列不等式成立的是（）

4.已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立且

为自然对数的底，则（）

举一反三：

1.设函数是奇函数的导函数，，当时，

，则使得成立的取值范围（）.

2.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，

则（）

3.已知函数的图象关于 y 轴对称,且当成

立，， ,则 a,b,c 的大小关

系是 ( ) A. B. C. D.

4. 已知为上的可导函数，且，均有，则有

A．，

B．，

C．，

D．，

5. 已知函数

f(x)(x∈R)

满足

f(1)=1

，且

f(x)

的导函数

f ' (x)< 1

，则

f(x)< x

2+1

的解集为（）A.

{

x|−1<x<1

}

{

x|x<−1

}

{

x|x<−1x或>1

}

{

x|x>1

}

二、指对数同构

①

( )y f x

( , 0), ( ) '( ) 0x f x xf x   

b a c  c a b  c b a  a c b 

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