《《高二数学（北师大版2019选择性必修第二册）讲义+单元检测》》特色专题二：同构函数（讲义+典型例题+小练）（解析版）

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特色专题二：同构函数（讲义+典型例题+小练）
同构式：在成立或恒成立命题中，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出
来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑
大大加快解决问题的速度。找到这个函数模型的方法，我们称为同构法。具有
相同结构的两个代数式称为同构式。
例如：若 F(x)≥0 能等价变形为 f[g(x)] ≥f[h(x)]，然后利用 f(x)的单调性，如递增，
再转化为 g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为
同构方程），简称同构法。
第一类：常见类型同构函数
(1) 构造函数 xf(x)，：当条件中含“＋”时优先考虑 xf(x)；当条件中含“－”时
优先考虑.
(2)构造函数：条件中含“xf′(x)－nf(x)”的形式；
构造函数 xf(nx)：条件中含“nxf′(nx)＋f(nx)”的形式.
(3)构造函数：条件中含“f′(x)－f(x)”的形式.
(4)构造函数：条件中含“f′(x)sin x－f(x)cos x”的形式.
例1： 1.已知函数 的图像关于 轴对称，且当 时，
成立，若 ， ， ，则 的大小关系（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：设 ，则 .
因为 时， ，所以 ,则当 时， 单调递减.
又因为函数 的图像关于 轴对称，所以 为奇函数，当 时， 单
调递减.
又因为 ， ， ，则 ，即答案为 A.
2.设函数 是奇函数 （）的导函数， ，当 时，
，则使得 成立的 的取值范围是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
构造新函数 ,，当 时 .
所以在 上 单减，又 ，即 .
所以 可得 ,此时 ，
又 为奇函数，所以 在 上的解集为：
.
故选 A.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如
，想到构造 .一般：（1）条件含有 ，就
构造 ,（2）若 ，就构造 ，（3）
，就构造 ，（4）就构造
，等便于给出导数时联想构造函数.
3.已知函数 满足： ，那么系列不等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：设 ，
则 .
因为 ，所以 ,则 在定义域上单调递增，所以 ,
则 ，即答案为 A.
4.已知 为定义在 上的可导函数，且 对于 恒成立且
为自然对数的底，则（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：设 ，
则 .
由 ，得 ，则 ,在定义域上单调递减，所以
,
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