《《高二数学（北师大版2019选择性必修第二册）讲义+单元检测》》特色专题二：数列前n项和的求法（讲义+典型例题+小练）（原卷版）

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特色专题二：数列前 n 项和的求法（讲义+典型例题+小练）

一．公式法：

等差数列前 n 项和

①

Sn=n(a1+an)

2=na1+n(n−1)

等比数列前 n 项和

②

Sn=

{

na1(q=1)

a1(1−qn)

1−q(q≠1)

例1：1．已知数列的前 n项和为，且 .

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求 n.

2.已知等差数列，为其前项和，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，为数列的前项和，求．

举一反三：

1．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，

良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复

还迎驽马，九日二马相逢，则长安至齐（）

A．1120 里B．2250 里C．3375 里D．1125 里

2．已知等差数列中，， .

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前 n项和 .

二、裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项.

应掌握以下常见的裂项：

①

②

③

④

⑤

例 2：已知数列满足且

(1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前 n项和为 .

:举一反三：

1．已知等差数列的前 n项和为，且，．

(1)求的通项公式；

(2)若，求证：．

2．已知数列的前 n项和为，数列的前 n项和为，且．

(1)证明：．

(2)求的通项公式．

(3)设数列的前 n项和为，若对任意，恒成立，求 m的取值范围．

三、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构

成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n项和公式的推导方法) .

例

3 ．已知数列的前 n项和为，，且对任意，都有．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前 n项和．

．

举一反三

1.已知正项数列的首项为 4，且．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前 n项和．

2．已知数列满足，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，且数列的前 n项和为，若恒成立，

求的取值范围．

四、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在

一起，再运用公式法求和.

例4：已知正项等比数列满足，数列满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和．

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