《《高二数学（北师大版2019选择性必修第二册）讲义+单元检测》》特色专题二：数列前n项和的求法（讲义+典型例题+小练）（解析版）

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特色专题二：数列前 n 项和的求法（讲义+典型例题+小练）

一．公式法：

等差数列前 n 项和

①

Sn=n(a1+an)

2=na1+n(n−1)

等比数列前 n 项和

②

Sn=

{

na1(q=1)

a1(1−qn)

1−q(q≠1)

例1：1．已知数列的前 n项和为，且 .

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求 n.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由、的关系求，可得，根据等比数列的定义，即可写出的通

项公式；

（2）由等比数列前 n项和公式有，结合已知条件求 n即可.

【详解】

（1）当时，；

当，，即，

∴ 是首项为，公比为 2的等比数列，所以 .

（2），

由，得，解得 .

2.已知等差数列，为其前项和，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，为数列的前项和，求．

【答案】（1），；（2）， .

【分析】

（1）由已知，结合等差数列前 n项和及通项公式求、，写出通项公式即可；

（2）由（1）可得，再应用等差数列前 n项和公式求 .

【详解】

（1）由题意，，可得，若公差为，

∴ ，故，

∴ 的通项公式 .

（2）由（1）得，则，

∴.

举一反三：

1．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，

良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复

还迎驽马，九日二马相逢，则长安至齐（）

A．1120 里B．2250 里C．3375 里D．1125 里

【答案】D

【分析】

根据题意，利用等差数列的前项和公式进行求解.

【详解】

解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，

记为{an}，其中 a1＝103，d＝13；

驽马每日行的距离成等差数列，

记为{bn}，其中 b1＝97，d＝﹣0.5；

设长安至齐为 x里，则 a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm

＝103×9+ +97×9+ ＝2x，解得 x＝1125．

故选：D

．

2．已知等差数列中，， .

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前 n项和 .

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）先设等差数列的公差为，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项

公式；

（2）根据（1）的结果，得到，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，因为，，

所以，解得，所以；

（2）由（1）可得，，即数列为等比数列，

所以数列的前 n项和 .

二、裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项.

应掌握以下常见的裂项：

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