《“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）》第一章 集合与常用逻辑用语 专题03 充分、必要条件的探求 (解析版)

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第一章 集合与常用逻辑用语
专题 03 充分、必要条件的探求
从近几年高考看，这部分内容多数是对充分、必要条件的考查，题型以选择题、填空题为主，分值 5
分，属中低档题．内容是以数学概 念、几何定理、函数或不等式的性质为载体、考查充要条件的判定．预
计今后仍会延续这一 命题方向，在知识的交汇点命题，重在考查学生的逻辑推理能力．
【题型导图】
类型一 充分、必要，充要条件的判断
例1：（2021·上海市延安中学高一期末）设
M
、
P
、
S
为三个集合，“
M P
”是“
 
P S M S 
”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．充要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】A
【详解】当
M P
时，可以推出
 
P S M S 
，但是当
 
P S M S 
时，推出
M P
或
S P
，
所以“
M P
”是“
 
P S M S 
”的充分不必要条件，故选：A.
【变式 1】一元二次函数 图象的顶点在原点的充要条件是（ )
A． ， B．
C．D．
【答案】A
【解析】函数 图象的顶点坐标为 ，由于该二次函数的顶点在原点，则
，则 ， ，因此，一元二次函数 图象的顶点在原点的充
要条件是 .
【变式 2】下列哪一项是“ ”的必要条件（ )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，“选项”是“ ”的必要条件，表示“ ”推出“选项”，所以正确选项为 D.
【变式 3】（2021·福建三明一中高一月考）1943 年深秋的一个夜晚，年仅 19 岁的曹火星在晋察冀边区创
作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌
名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党 100 周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”
的（ ）条件．
A．充分 B．必要 C．充分必要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【解析】记条件 p: “没有共产党”，条件 q：“没有新中国”，由歌词知，p可推出 q，故“没有共产党”
是“没有新中国”的充分条件.故选：A.
【痛点直击】判断方法要明确
1.定义法：（1）充分条件：若
qp
，则 p是q充分条件.
（2）必要条件：若
pq
，则 p是q必要条件
（3）充要条件：若
qp
，且
pq
，则 p是q充要条件，即：
qp
p是q充分不必要条件：
qp
，且
q p
；
p是q必要不充分条件：q
p，且
p q
；
p是q既不充分又不必要条件：
p q
且
q p
.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
2.逆否法： 设“若 p，则 q”为原命题，那么：
①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；
②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；
③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；
④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．
3.集合法： 从集合的观点看，建立命题 p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那
么：
①若 A⊆B，则 p是q的充分条件；若 A是B的真子集时，则 p是q的充分不必要条件；
②若 B⊆A，则 p是q的必要条件；若 B真子集是 A时，则 p是q的必要不充分条件；
③若 A⊆B且B⊆A，即 A＝B时，则 p是q的充要条件．
类型二 充要条件中的参量取值范围
例2. （2021·重庆市清华中学校高一月考）已知
p
:
2 10x q，剟
:
1 1 ( 0)m x m m  剟
，且
p
是
q
的充分不必要
条件，则实数
m
的取值范围为__________.
【答案】
9m
【详解】
: 2 10p x剟
，
:1 1 ( 0)q m x m m  剟
，因为
p
是
q
的充分不必要条件，
设
p
代表的集合为
A
，
q
代表的集合为
B
，所以
A B�
所以
1 2
1 10
m
m
 
 
或
1 2
1 10
m
m
 
 
解不等式组得
9m
或
9m
，
所以
9m
，即实数
m
的取值范围是
9m
.
【变式 1】（2021·安徽省太和中学高一月考）已知条件
p
：
3 2
2 1 3
x
x
 
 
；条件
q
：
 
1 1 0m x m m  
；
条件
r
：
1 1 2t x t   
.若
p
是
r
的充要条件，则
t
_______.若
p
是
q
的必要不充分条件，则实数
m
的取值
范围是_______.
【答案】2；
0 2m 
【详解】由条件
p
可得
1 5x 
，因为
p
是
r
的充要条件，
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