《“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）》第一章 集合与常用逻辑用语 专题02 集合中的参数问题(解析版)

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第一章 集合与常用逻辑用语
专题 02 集合中的参数问题
集合中的含参问题是一种较难的问题，也是学生容易出错的题型。其要点在于学生不能正确判断端点
值能否取到，忘记考虑空集这一情况。高考关于集合中的含参问题的考查，往往与集合元素的性质、函数、
解不等式相结合，有时以小题的面目出现，有时渗透于解答题之中．
从近几年高考命题看，考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，往往有一定的难度，关键是分类
讨论这种思想的理解和应用．
【题型导图】
类型一 元素与集合的关系中的含参问题
例1：（2021·福建福州三中高一期中）已知集合 M＝{ 2﹣ ，3x2+3x4﹣ ，x2+x4}﹣ ，若 2∈M，求 x的值．
【思路解析】由已知 2是集合 M的元素，分类讨论列出方程，求出 x的值，将 x的值代入集合，检验集合
的元素需满足互异性．
【解析】当 3x2+3x4﹣ ＝2时，3x2+3x6﹣ ＝0，x2+x2﹣ ＝0，
x＝﹣2或x＝1．经检验，x＝﹣2，x＝1均不合题意．
当x2+x4﹣ ＝2时，x2+x6﹣ ＝0，x＝﹣3或2．
经检验，x＝﹣3或x＝2均合题意．
∴x＝﹣3或x＝2．
【变式 1】（2021·河北沧州市高一期中）已知集合
 
2
, 2 1, 2 1M a a a  
，若
1M
，则
M
中所有元素之
和为（ ）
A．3 B．1 C．
3
D．
1
【答案】C
【分析】根据
1M
，依次令
中的三个元素分别等于 1，根据集合中元素的互异性作
出取舍，求得结果.
【详解】若
1a
，则
2 1 1a 
，矛盾；若
2 1 1a 
，则
1a
，矛盾，故
2
2 1 1a 
，解得
1a
（舍）或
1a 
，
故
 
1, 3,1M 
，元素之和为
3
，故选：C.
【变式 2】设集合 A＝{2，3，a2+2a3}﹣ ，集合 B＝{|a+3|，2 }，已知 5∈A，且 5∉B．求 a
的值．
【详解】由于 5∈A，且 A＝{2，3，a2+2a3}﹣ ，
∴a2+2a3﹣ ＝5，即 a2+2a8﹣ ＝0解得 a＝2或﹣4，
又当 a＝2时，B＝{5，2}不符合条件 5∉B，所以 a＝2不符合题意；
当a＝﹣4时，B＝{1，2}，符合条件 5∉B，所以 a＝﹣4为所求．
故答案为 a＝﹣4．
【变式 3】已知集合 A＝{（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B＝{（x，y）|x+y﹣n≤0}，若点 P（2，3）
∈A，且 P（2，3）∉B，求 m、n的取值范围．
【详解】将点（2，3）代入 A 中的不等式得到：
4 3+﹣m＞0，解得：m＞﹣1；
因为点（2，3）不在 B中，
所以将点（2，3）代入 B 中的不等式得到：
2+3﹣n≤0 不成立，
即2+3﹣n＞0，解得：n＜5．
【痛点直击】1. 已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用分类讨论思
想求解
2．要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验.
类型二 集合中元素个数的含参问题
例2.（2021·天津南开区四十三中高一月考）集合 ，若集合 中只有一个元素，
则由实数 的值组成的集合为________.
【答案】
【分析】分 和 两种情况，分别讨论集合 ，进而可求出答案.
【详解】当 时，方程 可化为 ，解得 ，满足题意；
当 时，要使集合 中只有一个元素，
则方程 有两个相等的实数根，
所以 ，解得 ，此时集合 ，满足题意.
综上所述， 或 ，即实数 的值组成的集合为 .故答案为： .
【变式 1】若集合 A＝{x|x2+ax+b＝x}中，仅有一个元素 a，则 a= ，b= ．
【答案】 ；
【详解】∵集合 A＝{x|x2+ax+b＝x}中，仅有一个元素 a，
∴a2+a2+b＝a且△＝（a1﹣ ）24﹣b＝0
解得 a＝ ，b＝ ．
故a、b的值分别为 ， .
【变式 2】（2021·上海市莘庄中学高一期中）已知集合
 
 
2
{x | x 2 x 2x a 0, x R}  
中的所有元素之和
为2，则实数 a的取值集合为______．
【答案】
{a | a 0
或
a 1}
【分析】推导出
2
x 2x a 0  
的解为
x 0
或无解，由此能求出实数 a的取值集合．
【详解】
集合
 
 
2
{x | x 2 x 2x a 0, x R}  
中的所有元素之和为 2，已经确定 2是其中的元素，
2
x 2x a 0  
的解为
x 0
或无解，
a 0 
或 ，解得
a 1
．
实数 a的取值集合为
{a | a 0
或
a 1}
．
故答案为
{a | a 0
或
a 1}
．
【变式 3】已知集合 A＝{x∈R|ax23﹣x+2＝0，a∈R}．
（1）若 A是空集，求 a的取值范围；
（2）若 A中只有一个元素，求 a的值，并把这个元素写出来；
（3）若 A中至多只有一个元素，求 a的取值范围．
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