《“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）》第四章 指数函数与对数函数 专题2 指数型函数单调性与最值的应用(解析版)

3.0 cande 2025-05-02 4 4 1.43MB 17 页 3知币
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第四章 指数函数与对数函数
专题 2 指数型函数单调性与最值的应用
指数型函数的单调性问题属于复合函数的单调性问题，解决复合函数的单调性要遵循“同增异减”的
原则。
从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大．
【题型导图】
类型一 指数型函数的最值
例1：（2021·江苏高一）函数 的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
令 ，
则 ，
因为 在 R上单调递减，
所以 ，
故函数 的值域为 ，
故选：C
【变式 1】若 ，则函数 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
， ， ，
设 ，
则 ，
故 ，
即函数 的最小值为 ．
故选 A．
【变式 2】（2021·全国高一课时练习）已知 ，求函数 的最大值．
【答案】2
【详解】
因为 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
又因为对称轴 ，
所以当 ，即 时， ．
【变式 3】已知幂函数 在 上是增函数.
（1）求 的解析式；
（2）若 ，求 的最大值.
【答案】（1） ；（2）最大值为 16.
【详解】
(1)因为 是幂函数，
所以 ，
即 或 ，
因为 在 上是增函数，
所以 ，即 ，则 ，故 .
(2)因为 为 R上的增函数，
所以 ，解得 .
故 的取值范围为 ，
所以 y的最大值为 16.
【痛点直击】求指数型函数的最值问题，应考虑指数型函数的单调性，进而求其最值。
类型二 含参数的指数型函数的最值问题
例2.（2021·湖北恩施·）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的零点；
（2）若 ，求 在区间 上的最大值 ．
【答案】（1） ；（2）.
【详解】
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