《“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）》第四章 指数函数与对数函数 专题1 指数型复合函数的单调性的判断(解析版)-

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第四章 指数函数与对数函数
专题 1 指数型复合函数的单调性的判断
复合函数单调性的规律:若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数
“ ”的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即 同增异减 ．利用复合函数法求解函数单调区间的基本步
骤如下：（1）求出原函数的定义域；
（2）将原函数分解为内层函数和外层函数；
（3）分析内层函数和外层函数的单调性；
（4 “ ”）利用复合函数法 同增异减 可得出结论.
【题型导图】
类型一 指数型函数单调性的判断
例1：（2021·全国高一课时练习）函数 y＝ 的单调递减区间为（ ）
A ∞．（－ ，0] B．[0 ∞，＋ ）
C ∞．（－ ， ] D．[ ∞，＋ ）
【答案】B
【详解】
解:函数 y＝u在R上为减函数，
欲求函数 y＝ 的单调递减区间，只需求函数 u＝x2－2的单调递增区间，
而函数 u＝x2－2的单调递增区间为[0 ∞，＋ ），
故所求单调递减区间为[0 ∞，＋ ）.
故选:B
【变式 1】（2021·浙江杭州市·高一期中）设函数 ，则函数 的单调性（
）
A．与 a有关，且与 b有关 B．与 a无关，且与 b有关
C．与 a有关，且与 b无关 D．与 a无关，且与 b无关
【答案】D
【详解】
因为函数 ，
所以当 时， 单调递增.当 时， 单调递增.
则 且 ， ， 的单调性都为单调递增.
所以函数 的单调性与 无关.
故选：D
【变式 2】函数 的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
因为函数 的单调递增区间为 ，
所以根据复合函数单调性可知， 的单调递增区间为
故选：A
【变式 3】（2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末）函数 （ ）的单调递减区间为_
_____．
【答案】
【详解】
对于 （ ），令 ，则
因为 在 R上单增，
所以要求 （ ）的单调递减区间，
只需 ，解得： ，
所以函数 （ ）的单调递减区间为 .
故答案为：
【痛点直击】解决指数型复合函数的单调性问题，要先判断此复合函数是由指数函数与什么函数复合而成
“ ”的复合函数，进而判断两个基本初等函数的单调性，利用复合函数的 同增异减 来判断复合函数的单调性。
类型 二 由指数型复合函数的单调性求参数问题
例2.（2021·全国高一课时练习）若函数 (且)在区间 上单调递增，则实数 的
取值范围为____．
【答案】
【详解】
内函数为二次函数 ，在区间 单调递减，在区间 单调递增
当 时，外函数单调递减，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为函数 在 上单调递增，所以 无解﹔
当 时，外函数单调递增，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
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