《“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）》第二章一元二次函数、方程和不等式专题04 基本不等式的常见用法(解析版)

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第二章一元二次函数、方程和不等式

专题 04 基本不等式的常见用法

从近几年高考看，基本不等式在各类题型中均有出现，主要应用在求最值及证明不等式方面，因为

基本不等式在解题中具有技巧性强，解题效率高的特点。常成为学生想要掌握，但又难以灵活应用的一个

“痛点”。本节将对基本不等式的基本用法做一归纳，期望大家通过练习、感悟，能打通自己思维的“堵

点”，提升对基本不等式的应用能力．

【题型导图】

类型一运用基本不等式求最值

例1. (2021·江苏宿迁高一月考)已知函数 y＝x－4＋(x>－1)，当 x＝a时，y取得最小值 b，则 2a＋3b＝(

)

A．9　　　　　　　B．7 C．5 D．3

【答案】B

【解析】因为 x>－1，所以 x＋1>0，

所以 y＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，

当且仅当 x＋1＝，即 x＝2时取等号，

所以 y取得最小值 b＝1，此时 x＝a＝2，所以 2a＋3b＝7.

【变式 1】已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x的值为________．　

【答案】

【解析】x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝，

当且仅当 3x＝4－3x，即 x＝时，取等号．

【变式 2】(2021·山东菏泽三中高一月考)已知 a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．

【答案】9

【解析】＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9.

当且仅当 a＝b＝时，取等号．

【变式 3】 (2020·高考江苏卷)已知 5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则 x2＋y2的最小值是__________．

【答案】

【解析】　方法一：由 5x2y2＋y4＝1得x2＝－，则 x2＋y2＝＋≥2＝，

当且仅当＝，即 y2＝时取等号，则 x2＋y2的最小值是.

方法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤＝(x2＋y2)2，则 x2＋y2≥，

当且仅当 5x2＋y2 ＝4y2＝2，即 x2＝，y2＝时取等号，则 x2＋y2的最小值是.

【痛点直击】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的关键点：拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，

通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的

实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．

2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤：

（1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)；（2）把确定的定值(常数)变形为 1；

（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式.

3.通过消元法利用基本不等式求最值的策略：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已

知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．

类型二利用基本不等式求参数

例2.（2021·北京大兴区高一期中）若对任意的

(0, )x 

都有

x a

 

，则

的取值范围是（）

A．





2，

B．

 

2，

C．

(2, )

D．

[2, )

【答案】A

【解析】因为

(0, )x 

，则

1 1

2 2x x

x x

   

，当且仅当



，即 x=1 时等号成立，所以

2a

，

故选：A

【变式 1】（2021·广东深圳高级中学高一月考）已知

0a

，

0b

，若不等式

3 1 0

a b a b

  



恒成立，

则

的最大值为（）

A．13 B．14 C．15 D．16

【答案】D

【解析】因为

0, 0a b 

，所以

3 0a b 

，

所以

 

3 1 3m a b

a b

 

  

 

 

恒成立，只需

 

min

3 1 3m a b

a b

 

 

  

 

 

 

 

因为

0, 0a b 

，

所以

 

3 1 3 3 3 3

3 =9 1 10 2 16

a b a b

a b

a b b a b a

 

        

 

 

，

当且仅当

3 3

a b

b a

时，即

a b

时取等号.所以

16m

.即

的最大值为 16.故选：D

【变式 2】（2021·湖南师大附中高一期末）已知

0, 0x y 

，且

2 1x y 

，若

x y

 

恒成立，则正

实数

的最小值为（）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】A

【解析】因为

2 1x y 

，

x y

 

恒成立，即

 

2 8

x y x y

 

  

 

 

所以

2 8

ax y a

y x

   

，即

ax y a

y x

  

，

又

2 2

2 2 2

ax y ax y a

y x y x

   

，所以

 

6 2 2 6 2 2a a a a    

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