《“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）》第二章 一元二次函数、方程和不等式 专题4 求含参二次函数的最值(解析版)

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第二章 一元二次函数、方程和不等式
专题 4 求含参二次函数的最值
求二次函数的最值，可判断二次函数图象的开口方向与对称轴，进而判断函数在给定区间上的单调性，
当对称轴与区间位置不确定时，要分类讨论，根据函数的单调性求出函数的最值。
从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大．
【题型导图】
类型一 “ “ ”动轴定区间 型 二次函数求最值
例1：（2021·江西高安中学高一月考）已知函数 ， ．
（1）当 时，求 的最小值；
（2）若 在区间 上的最大值为 14，求实数 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【详解】
（1）当 时， ， ，
又因为二次函数开口向上，且对称轴为 ，
所以当 时， ，
（2）当 时，
当 时，
综上所述：
【变式 1】（2021·全国高一课前预习）已知二次函数 .若当 时， 的最大值为 4，
求实数 的值.
【答案】 或 .
【详解】
二次函数 的对称轴为直线 ，
当 ，即 时，当 时， 取得最大值 4， ，解得 ，满足；
当 ，即 时，当 时， 取得最大值 4， ，解得 ，满足.
故:实数 的值为 或 .
【变式 2】已知二次函数 的最小值为 ， ．
（1）求 的解析式；
（2）若 在区间 上不单调，求实数 的取值范围；
（3）若 ，试求 的最小值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析．
【详解】
解：（1）由已知函数 是二次函数，且 ，
∴函数 图象的对称轴为 ，
又最小值为-1，设 ，又 ，∴ ．
∴ ；
（2）由（1）知函数 图象的对称轴为 ，要使 在区间 上不单调，
则 ，所以 ；
（3）由（1）知， 图象的对称轴为 ，开口朝上，
若 ，则 在 上是增函数， ；
若 ，即 ，则 在 上是减函数， ；
若 ，即 ，则 ；
综上所述，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
【变式 3】（2021·浙江高一期末）设函数 ．
（1）若 在区间 上的最大值为 ，求 的取值范围；
（2）若 在区间 上有零点，求 的最小值．
【答案】（1） ；（2）.
【详解】
（1）二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 .
①当 时，即当 时，函数 在区间 上单调递增，则 ；
②当 时，即当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，所以， ；
③当 时，即当 时，函数 在区间 上单调递减，则 .
综上所述， .
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