《“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）》第二章 一元二次函数、方程和不等式 专题05 含参一元二次不等式的解法(解析版)

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第二章 一元二次函数、方程和不等式
专题 05 含参数一元二次不等式的解法
解含参一元二次不等式，常常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等
式问题的一个难点。解含参一元二次不等式时对参数的分类主要依据有三个因素：①比较根的大小；②判
别式的符号；③二次项系数的符号。以下举例分析，加以归纳。解决此类问题对提升自己函数与方程思想、
数形结合思想及分类与整合思想有很大裨益。
【题型导图】
类型一 比较根的大小
例1. (2021·福建屏东中学高一期末) 若
0a
，则不等式
2
ax x�
的解集为（ ）
A．
1
x x a
 
 
 
�
B．
10x x
a
 
 
 
剟
C．
10x x x
a
 
 
 
或厔
D．
1
0x x x a
 
 
 
或厔
【答案】D
【详解】由
2
ax x�
，得
 
1 0ax x 
，因
0a
，所以
0x
或
，因此不等式
2
ax x�
的解集为
1
0x x x a
 
 
 
或厔
.
故选：D.
【变式 1】（2021·六安市裕安区新安中学高一期末）已知
2a
，关于 x的不等式
2
(2 ) 2 0ax a x  
的解
集为（ ）
A．
2
x x a
或
B．
2
| 1x x
a
 
 
 
 
C．
1x x
或
2
xa
D．
2
|1x x a
 
 
 
 
【答案】A
【详解】不等式
2
(2 ) 2 0ax a x  
化为
 
2 1 0ax x  
，
2a
，
21
a
 
，
故不等式的解集为
2
x x a
或
1x
.故选：A.
【变式 2】关于 x的不等式 63x2-2mx-m2<0 的解集为（ ）
A．
,
9 7
m m
 
 
 
B．
,
7 9
m m
 
 
 
C．
, ,
9 7
m m
 
 
 
 
 
D．以上答案都不对
【答案】D
【详解】原不等式可化为
9
m
x
 
 
 
0
7
m
x
 
 
 
 
，对应方程的二根为
1 2
,
9 7
m m
x x 
，需对 m分三种情况讨
论：
当
0m
时，
0
9 7
m m
 
，不等式解集为
,
9 7
m m
 
 
 
；
当
0m
时，
0
7 9
m m
 
，不等式解集为
,
7 9
m m
 
 
 
；
0m
时，
0
9 7
m m
 
，不等式解集为
.
故不等式的解集与 m有关，ABC 均不正确，故选：D.
【变式 3】解关于
x
的不等式
01)1(
2
xaax
（
a
为常数且
0a
）.[来源:Z§xx§k.Com]
【分析】
2
1
( 1) 1 0 ( )( 1) 0ax a x a x x
a
 
,先讨论
0a
时不等式的解集；当
0a
时，讨论
1
与
1
a
的大小，即分
10 a
，
1a
，
1a
分别写出不等式的解集即可.
【解析】原不等式可化为
0)1)(
1
(x
a
xa
（1）
0a
时，不等式的解集为
)1,
1
(a
；
（2）
0a
时，若
10 a
，
1
1
a
，不等式的解集为
),
1
()1,(  a
；
若
1a
，不等式的解集为
),1()1,( 
；
若
1a
，
1
1
0a
，不等式的解集为
),1()
1
,( 
a
；
综上
0a
时，不等式的解集为
)1,
1
(a
；
10 a
时，不等式的解集为
),
1
()1,(  a
；
1a
时，不等式的解集为
),1()1,( 
；
1a
时，不等式的解集为
),1()
1
,( 
a
.
【痛点直击】运算需熟练，思路要明确。
具体步骤为；1.将所给的一元二次不等式进行因式分解；
2.比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论； 3.得出结论.
类型二 判别式的符号
例2.（2021·山东泰安实验中学高一期末） 解不等式：
【解答】见解析
【解析】 ，
∴当 ，即 时，解集为 R，
当 时，即 时，解集为 ；
当 或 ，即 时，此时两根分别为 ， ，
此时 ，∴不等式的解集为 .
【变式 1】（2021·江西九江一中高一期末） 设集合 A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，
且A
B，则 k的取值范围为 ．
【答案】
.010 kk 或
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