（挑战压轴）专项27.5 相似三角形-一手拉手旋转综合应用（2大类型）（解析版）-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（人教版）

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（挑战压轴）专项 27.5 相似三角形-一手拉手旋转综合应用（2大类型）

【方法技巧】

模型一：有公共顶点的直角三角形

模型二：有公共顶点的任意三角形

【类型 1：有公共顶点的直角三角形】

1. 【问题背景】正方形 ABCD 和等腰直角三角形 CEF 按如图①所示的位置摆放，点

B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．

【初步探究】

（1）如图②，将等腰直角三角形 CEF 绕点 C按顺时针方向旋转，连接 BF，DE，请直

接写出 BF 与DE 的数量关系与位置关系：　；

【类比探究】

（2）如图③，将（1）中的正方形 ABCD 和等腰直角三角形 CEF 分别改成矩形 ABCD

和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他条件不变．

①判断线段 BF 与DE 的数量关系，并说明理由；

②连接 DF，BE，若 CE＝6，AB＝12，求 DF2+BE2的值．

【解答】解：（1）如图②，BF 与CD 交于点 M，与 DE 交于点 N，

∵四边形 ABCD 是正方形，

∴BC＝DC，∠BCD＝90°，

∵△ECF 是等腰直角三角形，

∴CF＝CE，∠ECF＝90°，

∴∠BCD＝∠ECF，

∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，

∴∠BCF＝∠DCE，

∴△BCF≌△DCE（SAS），

∴BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，

∵∠BMC＝∠DMF，∠CBF+∠BMC＝90°，

∴∠CDE+∠DMF＝90°，

∴∠BND＝90°，

∴BF⊥DE，

故答案为：BF＝DE，BF⊥DE；

（2）①如图③，，

理由：∵四边形 ABCD 是矩形，

∴∠BCD＝90°，

∵∠ECF＝90°，

∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，

∴∠BCF＝∠DCE，

∵ ，

∴△BCF∽△DCE，

∴ ＝；

②如图③，连接 BD，

∵△BCF∽△DCE，

∴∠CBF＝∠CDE，

∵四边形 ABCD 是矩形，

∴CD＝AB＝12，

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