（挑战压轴）专项27.4 相似三角形-一线三等角综合应用（解析版）-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（人教版）

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（挑战压轴）专项 27.4 相似三角形-一线三等角综合应用
【方法技巧】
图3
图2
图1
E
F
F
C
B
B
C
C
B
A
D
E
D
A
E
D
A
1. 如图
，
∠B=∠C=∠EDF ⇒Δ BDE
∽
Δ CFD
（一线三等角）
如图
2
，
∠B=∠C=∠ADE ⇒Δ ABD
∽
Δ DCE
（一线三直角）
如 图
3
， 特 别 地 ， 当
D
是
BC
中 点 时 ：
Δ BDE
∽
Δ DFE
∽
Δ CFD
⇒
ED
平 分
∠BEF
，
FD
平分
∠EFC
。
2. 一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直
角时，可构造“一线三等角”型相似。
【类型 1：标准“K”型图】
1．（2021 秋•长安区期末）如图，将矩形 ABCD 沿AE 折叠，使点 D落在 BC 边的点 F处
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）已知 AB＝3，AD＝5，求 tan∠DAE 的值．
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
由折叠可得：
∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝180°﹣∠AFE＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴△ABF∽△FCE；
（2）解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，
由折叠可得：
AD＝AF＝5，
∴BF＝ ＝ ＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝1，
∵△ABF∽△FCE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CE＝ ，
∴DE＝CD﹣CE＝3﹣＝ ，
∴tan∠DAE＝ ＝ ＝ ，
∴tan∠DAE 的值为 ．
2.如图，在正方形 ABCD 中，M为BC 上一点，ME⊥AM，ME 交CD 于F，交 AD 的延长线
于点 E．
（1）求证：△ABM∽△MCF；
（2）若 AB＝4，BM＝2，求△DEF 的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD，
∴∠BAM+∠AMB＝90°，
∵ME⊥AM，
∴∠AME＝90°，
∴∠AMB+∠FMC＝90°，
∴∠BAM＝∠FMC，
∴△ABM∽△MCF；
（2）解：∵AB＝4，
∴AB＝BC＝CD＝4，
∵BM＝2，
∴MC＝BC﹣BM＝4 2﹣＝2，
由（1）得：△ABM∽△MCF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CF＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝4 1﹣＝3，
∵BC∥AD，
∴∠EDF＝∠MCF，∠E＝∠EMC，
∴△DEF∽△CMF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝6，
∴△DEF 的面积＝ DE•DF＝×6×3＝9，
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