（挑战压轴）专项27.3 相似三角形-射影定理综合应用（解析版）-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（人教版）

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（挑战压轴）专项 27.3 相似三角形-射影定理综合应用

【方法技巧】

　一、射影定理　直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；

且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒ t△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，

则有Ｃ D ２＝ＢＤ•AD、

ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或

ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。（证明略）

二、变式推广

　１．逆用　　如图（１）：若△ＡＢＣ中，Ｃ

Ｄ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则

有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

　２．一般化，若 △ＡＢＣ不为直角三角形，

当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论

成立。（后文简称：射影定理变式（2））

　　　如图（２）：△ＡＢＣ中，D 为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，

或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，

若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△

ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

【类型 1：直角三角形中射影定理】

1．（2021 秋•二道区校级月考）如图，小明在 A时测得某树的影长为 4米，B时又测得该

树的影长为 1米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　）米．

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】A

【解答】解：如下图：

由题知，OH⊥CD，∠COD＝90°，

∴∠C+∠D＝90°，∠C+∠COH＝90°，

∴∠COH＝∠D，

∵∠CHO＝∠OHD＝90°，

∴△CHO∽△OHD，

∴ ，

∵CH＝1米，DH＝4米，

∴OH＝2米，

故选：A．

2．（2021 秋•双柏县期中）如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，若 BD＝4，CD

＝6，则 AD 的长为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．12

【答案】B

【解答】解：根据射影定理，CD2＝AD•BD，

∵BD＝4，CD＝6，

∴AD＝9，

故选：B．

3．（麻城市校级自主招生）如图，⊙O与Rt△ABC 的斜边 AB 相切于点 D，与直角边 AC

相交于点 E，且 DE∥BC ．已知 AE＝2，AC ＝3，BC＝6，则⊙O的半径是（

　）

A．3 B．4 C．4 D．2

【答案】D

【解答】解：延长 EC 交圆于点 F，连接 DF．

则根据 90°的圆周角所对的弦是直径，得 DF 是直径．

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC．

∴ ．则 DE＝4．

在直角△ADF 中，根据射影定理，得

EF＝＝4．

根据勾股定理，得 DF＝＝4，

则圆的半径是 2．

故选：D．

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