《【练好重点题】2023学年九年级数学下册综合训练卷（人教版）》专题04 相似三角形（重难点突破）（原卷版）

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专题 04 相似三角形
重点 探索两个三角形相似的条件，会选择恰当的方法识别两个三角形相似
难点
探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；综合运用相似三角形的判
定和性质解决生活中的实际问题
易错 相似三角形的对应元素出错；用相似三角形相似比求面积关系时出错
一、相似三角形的判定
1．相似三角形的判定定理
①判定定理 1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
②判定定理 2：三边成比例的两个三角形相似．
③判定定理 3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
④判定定理 4：两角分别相等的两个三角形相似．
2．直角三角形相似的判定方法
如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．
3．判定三角形相似的几条思路：
（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；
（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
【例 1】如图，在 中，高 、 相交于点 F．图中与 一定相似的三角形有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例 2】在△ABC 中，点 D、E分别在边 AB、AC 上，下列比例式中不能得到 DE BC 的是（　　）
A．B．C．D．
二、相似三角形的性质
运用相似三角形性质的前提是先判定两三角形相似.特别注意“相似三角形面积的比等于相似比的平方”而
不是等于相似比，即相似比应等于面积比的算术平方根．
【例 3】如图， ，若 ， ，则 与 的相似比是（•••　）
A．1 2∶B．1 3∶C．2 3∶D．3 2∶
【例 4】如图，已知 和 的相似比是 ，且 的面积为 2，则四边形 的面积为（　
）
A．6 B．8 C．4 D．2
三、相似三角形应用举例
解相似三角形应用题的两个原则：
（1）核心是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体的高度或宽度一般是其中的一边．
（2）构造三角形的方法多种多样，只需把握住所构造的三角形除被测量的边以外，其余的对应边易测这
一原则．
【例 5】如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜
边DF 保持水平，并且边 DE 与点 在同一直线上，已知纸板的两条直角边 ， ，测得
边DF 离地面的高度 ， ，则树高 AB 为（••••）m．
A．5 B．C．7 D．
【例 6】地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定一个目标点 O，再在他们所在的这一侧选取
点A，B，D，使得 ，然后找到 和 的交点 C，如图所示，测得
，则可计算出河宽 为（　　）
A．16m B．15m C．14m D．13m
一、单选题
1．如图， ， 相交于点 ，且 ，若 ， ，则 的度数为
（•••）
A．B．C．D．
2．若 ，其相似比为 ，则 与 的面积比为（•••）
A．B．C．D．
3．如图，已知 ，相似比为 ，则 为（　　）
A．2 B．5 C．5 D．1
4．如图， ， ， 交于 ，图中相似三角形共有（•••）
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