《【上好课】2023学年八年级数学下册同步备课系列（人教版）》16.2.1 二次根式的乘法（教学设计）

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人教版初中数学八年级下册
16.2.1 二次根式的乘法 教学设计
一、教学目标：
1.理解二次根式的乘法法则.
2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.
二、教学重、难点：
重点：会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.
难点：会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.
三、教学过程：
复习回顾
一、二次根式有哪些性质？
1.双重非负性：
2.一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
3.任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
二、练一练：
1.计算：(1)(4
√
3
)2=____； (2)
(
√
9
4
)
2
=____； (3)(-3
√
2
)2=____.
2.化简：(1)
√
162
=____；(2)
√
(
−3
4
)
2
=____；(3)
√
3−2
=____；(4)
√
(2π−7)2
=______.
知识精讲
探究：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
(1)
√
4
×
√
9
=_______，
√
4×9
=_______；
(2)
√
16
×
√
25
=_______，
√
16×25
=_______；
(3)
√
25
×
√
36
=_______，
√
25×36
=_______.
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
（1） （2） （3）
思考：你能用字母表示你所发现的规律吗？
一般地，二次根式的乘法法则是：
√
a
•
√
b
=
√
ab
(a≥0，b≥0)
即：二次根式相乘，________不变，________相乘.
语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
典例解析
例1 计算：
(1)
√
3×
√
5
(2)
√
1
3×
√
27
解：(1)
√
3×
√
5
=
√
15
(2)
√
1
3×
√
27
=
√
1
3×27
=
√
9
=3
【点睛】对于(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合
三个及三个以上的二次根式相乘，即
【针对练习】计算：
(1)
√
2×
√
5
(2)
√
3×
√
12
(3)
√
6×
√
1
2
(4)
√
48×
√
6×
√
1
72
解：(1)原式=
√
10
(2)原式=
√
36
=6 (3)原式=
√
6×1
2
=
√
3
(4)原式=
√
288
72
=
√
4
=2
知识精讲
一般的： （a≥0，b≥0）
反过来： （a≥0，b≥0）积的算术平方根的性质
语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
典例解析
例2 化简：
(1)
√
16×81
(2)
√
4a2b3
（a≥0，b≥0）
解：(1)
√
16×81=
√
16×
√
81=4×9=36
(2)
√
4a2b3=
√
4
•
√
a2
•
√
b3
=2•a•
√
b2
⋅b
=2a
√
b2
•b=2ab
√
b
被开方数 4a2b3含 4，a2，b2这样的因数或因式，它们被开方后可以移到根号外，是开得尽的
因数或因式.
【针对练习】化简：
(1)
√
49×121
(2)
√
225
(3)
√
4y
(4)
√
16 ab2c3
解：(1)原式=
√
49×
√
121
=
7×11
=11； (2)原式=
√
152
=15； (3)原式=
√
4
•
√
y
=
2
√
y
(4)原式=
√
16
•
√
b2
•
√
c2
•
√
ac
=
4bc
√
ac
.
例3 计算：
(1)
√
14×
√
7
(2)
3
√
5×2
√
10
(3)
√
3x
•
√
1
3xy
解：(1)原式=
√
14×7
=
√
72×2
=
√
72×
√
2
=
7
√
2
(2)原式=
3×2
√
5×10
=
6
√
52×2
=
6
√
52×
√
2
=
6×5
√
2
=
30
√
2
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