《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项07 半角模型综合应用（原卷版）

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专项 07 半角模型综合应用

模型一等角=要三角形中得半角模型

模型二正方形中的半角模型

应用：①利用旋转构造全等三角形；

②利用翻折构造全等三角形。

【类型一：等腰三角形中的半角模型】

【典例 1】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的

条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α，点

D、E在边 BC 上，且．

（1）如图 a，当 α＝60°时，将△AEC 绕点 A顺时针旋转 60°到△AFB 的位置，连结

DF．

①∠DAF＝　　；②求证：DF＝DE；

（2）如图 b，当 α＝90°时，猜想 BD、DE、CE 的数量关系，并说明理由．

【变式 1】已知∠MBN＝60°，等边△BEF 与∠MBN 顶点 B重合，将等边△BEF 绕顶点 B

顺时针旋转，边 EF 所在直线与∠MBN 的BN 边相交于点 C，并在 BM 边上截取 AB＝

BC，连接 AE．

（1）将等边△BEF 旋转至如图①所示位置时，求证：CE＝BE+AE；

（2）将等边△BEF 顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出 AE，BE，CE

之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下，若 BF＝4，AE＝1，则 CE＝　 3

或

5 　．

【典例 2】等边△ABC，D为△ABC 外一点，∠BDC＝120°，BD＝DC，∠MDN＝60°，射

线DM 与直线 AB 相交于点 M，射线 DN 与直线 AC 相交于点 N，

①当点 M、N在边 AB、AC 上，且 DM＝DN 时，直接写出 BM、NC、MN 之间的数量关

系．

②当点 M、N在边 AB、AC 上，且 DM≠DN 时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，

请证明．

③当点 M、N在边 AB、CA 的延长线上时，请画出图形，并写出 BM、NC、MN 之间的

数量关系．

【变式 2】（1）问题背景：

如图①，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别

是BC、CD 上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系．

小明同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G，使 DG＝BE，连接 AG ，先证明

△ABE≌ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　　；

（2）探索延伸：

如图②，若在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是 BC，CD 上的

点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由；

（3）实际应用：

如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心 O北偏西 30°的A处，舰艇乙在指挥中

心南偏东 70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向

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