《备战2023年中考数学《重难点解读专项训练》（全国通用）》专题04 “一线三垂直”模型及其变形的应用（专项训练）（解析版）

3.0 cande 2025-05-06 32 4 478.32KB 22 页 3知币

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专题 04 “一线三垂直”模型及其变形的应用（专项训练）

1．如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD 于B，且 DC＝DE，若 BE＝7，AB＝

4，则 BD 的长为　　．

【解答】解：∵BE⊥AD，

∴∠EBD＝∠CAD＝90°，

∴∠BDE+∠ADC＝90°，∠BDE+∠E＝90°，

∴∠E＝∠ADC，

在△ACD 和△BDE 中，

，

∴△ACD≌△BDE（AAS），

∴BE＝AD，

∴BD＝AD﹣AB＝BE﹣AB＝7 4﹣＝3，

故答案为：3．

2．如图，一块含 45°的三角板的一个顶点 A与矩形 ABCD 的顶点重合，直角顶点 E落在边

BC 上，另一顶点 F恰好落在边 CD 的中点处，若 BC＝12，则 AB 的长为　　．

【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，

∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，

∵△AEF 是等腰直角三角形，

∴AE＝EF，∠AEF＝90°，

∴∠FEC+∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠FEC，

在△ABE 和△ECF 中，

，

∴△ABE≌△ECF（AAS），

∴AB＝CE，BE＝CF，

∵点 F是CD 的中点，

∴CF＝CD，

∴BE＝CF＝AB，

∵BE+CE＝BC＝12，

∴AB+AB＝12，

∴AB＝8，

故答案为：8．

3．在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线 MN 经过点 C，且 AD⊥MN 于D，BE⊥MN

于E．

（1）当直线 MN 绕点 C旋转到图 1的位置时，求证：

①△ADC≌△CEB；

②DE＝AD+BE；

（2）当直线 MN 绕点 C旋转到图 2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；

（3）当直线 MN 绕点 C旋转到图 3的位置时，试问 DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？

请写出这个等量关系，并加以证明．

【解答】（1）证明：∵∠ACB ＝90° ，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，

而AD⊥MN 于D，BE⊥MN 于E，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠ACD＝∠CBE．

在△ADC 和△CEB 中，，

∴△ADC≌△CEB，

∴AD＝CE，DC＝BE，

∴DE＝DC+CE＝BE+AD；

（2）证明：在△ADC 和△CEB 中，，

∴△ADC≌△CEB，

∴AD＝CE，DC＝BE，

∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；

（3）DE＝BE﹣AD．

易证得△ADC≌△CEB，

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