《七年级数学下册举一反三系列（人教版）》专题6.1 平方根与立方根【九大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）

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专题 6.1 平方根与立方根【九大题型】
【人教版】
【题型 1 平方根、立方根的概念及表示】................................................................................................................1
【题型 2 平方根性质的运用】....................................................................................................................................3
【题型 3 开平方、开立方的运算】............................................................................................................................4
【题型 4 利用开平方、开立方解方程】....................................................................................................................6
【题型 5 算术平方根的概念及非负性】....................................................................................................................8
【题型 6 开方运算中的小数点移动规律】................................................................................................................9
【题型 7 平方根与立方根综合】..............................................................................................................................11
【题型 8 算术平方根、立方根的应用】..................................................................................................................13
【题型 9 算术平方根、立方根的规律探究】.........................................................................................................14
【知识点 1 平方根的概念及表示】
①定义：如果
x2=a(a ≥ 0)
，那么
x
叫做
a
的平方根，也称为二次方根.
②表示方法：正数
a
的正的平方根记作
❑
√
a
，负的平方根记作
−❑
√
a
，正数
a
的两个平方根记作
，读作正、
负根号
a
，其中
a
叫做被开方数.
【知识点 2 立方根的概念及性质】
（1）一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a的立方根或三次方根。即如果 x3=a，那么 x叫
做a的立方根，记作 。即 。
（2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是 0.
【题型 1 平方根、立方根的概念及表示】
【例 1】（2022 春•海淀区校级期中）下列各数中，一定没有平方根的是（　　）
A．﹣aB．﹣a2+1 C．﹣a2D．﹣a21﹣
【分析】根据平方根的被开方数不能是负数，可得答案．
【解答】解：在﹣a，﹣a2+1，﹣a2，﹣a21﹣ 中，﹣a21﹣ 是负数，没有平方根．
故选：D．
【变式 1-1】（2022 春•鞍山期末）下列说法正确的是（　　）
A．﹣1是1的平方根 B．﹣1是-1 的平方根
C．﹣1是1的立方根 D．﹣1没有立方根
【分析】根据平方根和立方根的概念与性质进行辨别即可．
【解答】解：∵±1 都是 1的平方根，
∴选项 A符合题意；
∵-1 没有平方根，
∴选项 B符合题意；
∵1的立方根是 1，
∴选项 C不符合题意；
∵﹣1的立方根是﹣1，
∴选项 D符合题意，
故选：A．
【变式 1-2】（2022 春•应城市期末）下列各式中，正确的是（　　）
A．
−❑
√
−9=3
B．
3
√
−27=−3
C．
3
√
1
8=±1
2
D．
3
√
8=−2
【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题．
【解答】解：A．
−❑
√
−9
无意义，故 A不符合题意．
B．
3
√
−27=−3
，故 B符合题意．
C．
3
√
1
8=1
2
，故 C不符合题意．
D．
3
√
8=2
，故 D不符合题意．
故选：B．
【变式 1-3】（2022 春•高安市期中）下列叙述中，错误的是（　　）
A．0只有一个平方根 B．若 x2＝3，则 x＝±
❑
√
3
C．
❑
√
64
的立方根是 2 D．512 的立方根是±8
【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：A、0只有一个平方根，故 A不符合题意．
B、若 x2＝3，则 x＝±
❑
√
3
，故 B不符合题意．
C、
❑
√
64=¿
8，8的立方根是 2，故 C不符合题意．
D、512 的立方根是 8，故 D符合题意．
故选：D．
【知识点 3 平方根的性质】
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
【题型 2 平方根性质的运用】
【例 2】（2022 春•临洮县期中）一个正数 x的两个平方根分别是 2a1﹣ 与﹣a+2，求 a的值和这个正数 x
的值．
【分析】正数 x有两个平方根，分别是﹣a+2 与2a11﹣ ，所以﹣a+2 与2a1﹣ 互为相反数；即﹣a+2+2a
1﹣ ＝0解答可求出 a；根据 x＝（﹣a+2）2，代入可求出 x的值．
【解答】解：∵正数 x有两个平方根，分别是﹣a+2 与2a1﹣ ，
∴﹣a+2+2a1﹣ ＝0
解得 a＝﹣1．
所以 x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．
【变式 2-1】（2022•工业园区期中）一个正数 M的两个平方根分别是 2a+3 和2b1﹣ ，求（a+b）2022．
【分析】利用正数的平方根有 2个，且互为相反数求出 a+b的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：2a+3+2b1﹣ ＝0，
整理得：a+b＝﹣1，
则原式＝1．
【变式 2-2】（2022 春•孟村县期中）已知正实数 x的两个平方根是 m和m+b．
（1）当 b＝8时，m的值是　﹣ 4 　 ；
（2）若 m2x+（m+b）2x＝4，则 x＝　
❑
√
2
　．
【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出 m的值；
（2）利用平方根的定义得到（m+b）2＝x，m2＝x，代入式子 m2x+（m+b）2x＝4即可求出 x值．
【解答】解：（1）∵正实数 x的平方根是 m和m+b
∴m+m+b＝0，
∵b＝8，
∴2m+8＝0
∴m＝﹣4；
（2）∵正实数 x的平方根是 m和m+b，
∴（m+b）2＝x，m2＝x，
∵m2x+（m+b）2x＝4，
∴x2+x2＝4，
∴x2＝2，
∵x＞0，
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