专题08 全等三角形中的角平分线模型(解析版)

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专题 08 全等三角形中的角平分线模型
【模型展示】
特点
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角
相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
结论 三边对应相等的三角戏是全等三角形（SSS）、全等三角形对应角相等
【模型证明】
解决方案 角平分线+垂直两边型
角平分线性质定理：角的平分线上的点作角两边垂直段构成的两个 RT 三角形全等．
D
F
E
O
C
B
A
【证明】
∵ OC 为∠AOB 的角平分线，
D为OC 上一点 DE OA⊥，DF OB⊥
∴
∴DE=DF
角平分线+垂直角平分线型
构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而
得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
C
Ｃ
O
B
Ｂ
A
A
A
Ｎ
Ｍ
Ｏ
角平分线+平行线
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PQ ON∥，交 OM 于点 Q。
结论：△POQ 是等腰三角形。
【证明】
∵PQ ON∥
∴∠PON= OPQ∠
又∵OP 是∠MON 的平分线
∴∠POQ= PON∠
∴∠POQ= OPQ∠
∴△POQ 是等腰三角形
【题型演练】
一、单选题
1．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且 BD=BC，E为BD 延长线上的一点，BE=BA，过 E作
EF AB⊥，F为垂足，下列结论：①△ABD EBC BCE+ BCD=180° AD=AE=EC BA+BC=2BF≌△ ②∠ ∠ ③ ④
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】易证 ，可得 ，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求
得 ，即③正确，根据③可判断④正确；
【详解】∵ BD 为∠ABC 的角平分线，
∴ ∠ABD= CBD∠，
∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC，∠ABD= CDB∠，BE=BA，
∴△ (SAS)，故①正确；
∵ BD 平分∠ABC，BD=BC，BE=BA，
∴ ∠BCD= BDC= BAE= BEA∠ ∠ ∠ ，
∵△ABD EBC≌△ ，
∴∠BCE= BDA∠，
∴∠BCE+ BCD= BDA+ BDC=180°∠ ∠ ∠ ，
故②正确；
∵∠BCE= BDA∠，∠BCE= BCD+ DCE∠ ∠ ，
∠BDA= DAE+ BEA∠ ∠ ，∠BCD= BEA∠，
∴∠DCE= DAE∠，
∴△ACE 是等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD EBC≌△ ，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
故③正确；
作EG BC⊥，垂足为 G，如图所示：
∵ E是BD 上的点，∴EF=EG，
在△BEG 和△BEF 中
∴ △BEG BEF≌△ ，
∴BG=BF，
在△CEG 和△AFE 中
∴△CEG AFE≌△ ，
∴ AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，
故④正确；
故选：D．
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