专题37 反比例函数有关面积问题(解析版)

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专题 37 反比例函数有关面积问题
【模型展示】
特点
过双曲线上任意一点作
x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积 S为定值 ；
设P为 双 曲 线 上 任 意 一 点 ，过 点 P作x轴 、 y轴 的 垂线 PM 、PN ， 垂 足 分 别 为
M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形 PMON 的面积为
。
结论 矩形 PMON 的面积为
【模型证明】
解决方案
1、在直角三角形 ABO 中，面积
2、在直角三角形 ACB 中，面积为 ；
推论：如果两个函数的图像都关于原点对称，且它们有交点，那么它们的交点坐标也关于原
点对称。
如图，正比例函数 与反比例函数 的图像都关于原点对称，那么它们的交点
A、B也关于原点对称，
即设 ，则
3、在三角形 AMB 中，面积为 。
4、三角形的两个顶点在同一象限的双曲线上，面积为两点与 x轴的垂线围成的梯形的面积。
【题型演练】
一、单选题
1．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校九年级阶段练习）如图，点 A是函数 y=图象上一点，AB 垂
直x轴于点 B，若 =4，则 k的值为（ ）
A．4 B．8 C．－4 D．－8
【答案】D
【分析】根据 的几何意义和三角形的面积进行计算即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ；
故选 D．
【点睛】本题考查反比例函数 的几何意义．熟练掌握反比例函数 的几何意义是解题的关键．
2．（2022·河北·邢台三中九年级期中）如图，点 是反比例函数 （ ， ）的图像上任意一点，
过点 作 轴，垂足为 ．若 的面积等于 3，则 的值等于（ ）
A．B．6 C．D．3
【答案】A
【分析】根据反比例函数 的几何意义即可求出答案．
【详解】解：∵ 的面积等于 3， ，
即 ，
∴ ，
而 ， ，
∴
又观察图象可得： ， ，
∴ ，
故选 A．
【点睛】本题考查了反比例函数 的几何意义，掌握几何意义与图形面积以及坐标的关系是解题关键．
3．（2022·辽宁·大连市第九中学九年级阶段练习）如图，矩形 的顶点 A在反比例函数
的图象上，则矩形 的面积等于（ ）
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