专题28 二次函数图象中由动点引起的分类讨论问题(解析版)

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专题 28 二次函数图象中由动点引起的分类讨论问题

【题型演练】

一、单选题

1．如图，二次函数的图象与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且满足

，则点的坐标是（）

A．B．C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据抛物线的解析式，即可确定点 A的坐标，由于 OA 是定长，根据△AOP 的面积即可确定 P点

纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求得 P点的坐标．

【详解】解：抛物线的解析式中，令 y＝0，得：−x2−2x＝0，解得 x＝0，x＝−2；

∴A（−2，0），OA＝2；

∵S△AOP＝OA•|yP|＝3，∴|yP|＝3；

当P点纵坐标为 3时，−x2−2x＝3，x2＋2x＋3＝0，△＝4−12＜0，方程无解，此种情况不成立；

当P点纵坐标为−3时，−x2−2x＝−3，x2＋2x−3＝0，

解得 x＝1，x＝−3；

∴P（1，−3）或（−3，−3）；

故选：C．

【点睛】能够根据三角形面积来确定 P点的坐标，是解答此题的关键．

2．如图，在中，，动点 M、N分别从 A、C两点同时出发，点 M从点 A

开始沿边 AC 向点 C以每秒 1个单位长的速度移动，点 N从点 C开始沿 CB 向点 B以每秒 2个单位长的速度

移动．设运动的时间为 t，点 M、C之间的距离为 y，的面积为 S，则 y与t，S与t满足的函数关系

分别是（）

A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系

C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系

【答案】D

【分析】求出 y与t，S与t满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可．

【详解】解：由题意得，AM＝t，CN＝2t，

∴MC＝AC−AM＝5−t，

即y＝5−t，

∴S＝MC•CN＝5t−t2，

因此 y是t的一次函数，S是t的二次函数，

故选：D．

【点睛】本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出 y与

t，S与t的函数关系式是正确判断的关键．

3．如图，二次函数 y＝﹣x2+2x+m+1 的图象交 x轴于点 A（a，0）和 B（b，0），交 y轴于点 C，图象的顶

点为 D．下列四个命题：

①当 x＞0时，y＞0；

②若 a＝﹣1，则 b＝4；

③点 C关于图象对称轴的对称点为 E，点 M为x轴上的一个动点，当 m＝2时，△MCE 周长的最小值为 2

；

④图象上有两点 P（x1，y1）和 Q（x2，y2），若 x1＜1＜x2，且 x1+x2＞2，则 y1＞y2，

其中真命题的个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】A

【分析】①错误，由图象可知当a＜x＜b时，y＞0；②错误，当时，；③错误，△MCE 的周长

的最小值为 2 2；④正确，函数图象在 x＞1时，y随x增大而减小，则 y2＜y1．

【详解】解：①当a＜x＜b时，二次函数图象在轴上方，则 y＞0，故①错误；

②1，

∴当 a＝﹣1时，b＝3，故②错误；

③这是将军饮马问题，作 E关于 x轴的对称点，连接、，如图所示：

当m＝2时，C（0，3），E（2，3），

与E关于 x轴对称，

∴ （2，﹣3），

∴△MCE 的周长的最小值就是三点共线时取到为＝2，

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